什么是二项式定理

简单的话有时候说不清。二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664、1665年间提出。此定理指出：其中，二项式系数指等号右边的多项式叫做二项展开式。二项展开式的通项公式为：其i项系数可表示为:，即n取i的组合数目。因此系数亦可表示为帕斯卡三角形(Pascal's Triangle)二项式定理(Binomial Theorem)是指(a+b)n在n为正整数时的展开式。(a+b)n的系数表为： 1 n=0 1 1 n=1 1 2 1 n=2 1 3 3 1 n=3 1 4 6 4 1 n=4 1 5 10 10 5 1 n=5 1 6 15 20 15 6 1 n=6（左右两端为1，其他数字等于正上方的两个数字之和）在我国被称为「贾宪三角」或「杨辉三角」，一般认为是北宋数学家贾宪所首创。它记载于杨辉的《详解九章算法》(1261)之中。在阿拉伯数学家卡西的著作《算术之钥》(1427)中也给出了一个二项式定理系数表，他所用的计算方法与贾宪的完全相同。在欧洲，德国数学家阿皮安努斯在他1527年出版的算术书的封面上刻有此图。但一般却称之为「帕斯卡三角形」，因为帕斯卡在1654年也发现了这个结果。无论如何，二项式定理的发现，在我国比在欧洲至少要早300年。 1665年，牛顿把二项式定理推广到n为分数与负数的情形，给出了的展开式。 二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中有广泛的应用。1．熟练掌握二项式定理和通项公式，掌握杨辉三角的结构规律二项式定理:叫二项式系数（0≤r≤n）通项用Tr+1表示，为展开式的第r+1项，且, 注意项的系数和二项式系数的区别 2．掌握二项式系数的两条性质和几个常用的组合恒等式 ①对称性： ②增减性和最大值：先增后减　n为偶数时，中间一项的二项式系数最大，为：Tn/2＋1　n为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大，为：T(n+1)/2＋13．二项式从左到右使用为展开；从右到左使用为化简，从而可用来求和或证明掌握“赋值法”这种利用恒等式解决问题的思想 证明：n个（a+b）相乘，是从（a+b）中取一个字母a或b的积。所以（a+b）^n的展开式中每一项都是)a^kb^(n-k)的形式。对于每一个a^kb^(n-k)，是由k个(a+b)选了a,（a的系数为n个中取k个的组合数（就是那个C右上角一个数，右下角一个数））。（n-k）个(a+b)选了b得到的（b的系数同理）。由此得到二项式定理。 二项式系数之和:2的n次方而且展开式中奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和等于2的(n-1)次方

二项式定理知识点如下：

1、系数：依次为组合数Cn，Cn，Cn，Cn，…，Cn。

2、二项式展开的中间项是二项式系数的最大值。当n为偶数时，中间项是第n/2+1项最大；当n为奇数时，中间项为两项，即为第（n+1）/2项和第（n+1）/2+1项的系数最大。

3、（a+b+c）^n也可以运用二项式定理来计算其中的某个项的系数。

4、a的指数从n逐项减到0，是降幂排列。b的指数从0逐项减到n，是升幂排列。各项的次数和等于n。

5、要注意n为奇数还是偶数，答案是中间一项还是中间两项。

在二项式定理(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)b++C(n,r)a^(n-r)b^r++C(n,n)b^n 二项式定理可以用以下公式表示： 其中， 又有 等记法，称为二项式系数，即取的组合数目。此系数亦可表示为杨辉三角形。[2] 它们之间是互通的关系。

二项展开式是依据二项式定理对(a+b)进行展开得到的式子。

在二项式展开式中，二项式系数是一些特殊的组合数，与术语“系数”是有区别的。二项式系数最大的项是中间项，而系数最大的项却不一定是中间项。

求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行。

例：

展开式中的常数项

解：展开式的通项=

，令

，解得

故常数项为：

扩展资料：

二项式定理与方程的关系：

由于二次以上的多项式，在配n次方之后，并不能总保证在完全n次方项之后仅有常数项。于是，对于二次以上的一元整式方程，我们无法简单地像一元二次方程那样，只需配出关于x的完全平方式。

然后将后面仅剩的常数项移到等号另一侧，再开平方，就可以推出通用的求根公式。对于求解二次以上的一元整式方程，往往需要大量的巧妙的变换，无论是求解过程，还是求根公式，其复杂程度都要比一次、二次方程高出很多。

这个定理在遗传学中也有其用武之地，具体应用范围为：推测自交后代群体的基因型和概率、推测自交后代群体的表现性和概率。

推测杂交后代群体的表现型分布和概率、通过测交分析杂合体自交后代的性状表现和概率、推测夫妻所生孩子的性别分布和概率、推测平衡状态群体的基因或基因型频率等。

参考资料来源：百度百科-二项展开式

开二次方的根据：(10a+b)²=100a²+20ab+b²=100a²+b(20a+b)

我们用15129来举例：因为在被开方数中a是被100倍出现的，所以被开方数应该两位一分节，即1,51,29

第一步：第一节为1，所以a只能是1。第一节减去1后为0，续上下一节后为51。

第二步：公式中括号里20a+b的a是被20倍出现的，所以用20来试除59，试商2，b即为2。

第三步：20a+b=22，b(20a+b)=2X22=44

第四步：51-44=7，够减，继续下一步。若不够减，把试商减1后重做第三步。

第五步：用上一步的差7，续上下一节后为729，这时的a已经是12了。重复第二步。若差为0，且下一节亦为0，到第六步

第二步：用240来试除729，试商4，b即为4。

第三步：20a+b=244，b(20a+b)=4X244=976

第四步：729-976=-247，不够减，把试商减1后b=3)=3X44289=132867

，所以被开方数应该两位一分节，续上下一节后为132867。

第五步第四步。

第五步：860-728=132，所以被开方数应该三位一分节，够减，把试商减1后重做第三步;+b(300a²：差为0，b即为2，还有个30a：因为在被开方数中a是被100倍出现的，续上下一节后为729。第一节减去1后为0，够减第四步：(10a+b)³,29

第一步;+300a²：第一节为1，867

第一步;)=2X364=728

第四步，续上下一节后为860，b(20a+b)=3X243=729

第六步，试商3，这时的a已经是12了：因为在被开方数中a是被1000倍出现的;+30a=300X144+30X12=43560。若不够减，b即为4;+30ab+b²，b(300a²，且下一节亦为0;+b³：300a²：开方结束，所以a只能是1：20a+b=22;=300X144+30X12X3+9=44289，b即为3：用240来试除729。第一节减去1后为0。

第三步;=100a²。

第二步，不过试商就更麻烦。若差为0，续上下一节后为51;=1000a³：用上一步的差7，不够减。

第五步，够减;+30ab+b²，所以用20来试除59，继续下一步。

：729-976=-247，所以用330来试除860：用上一步的差132。若不够减，到第六步

;=1000a³第二步。

，用43560来试除136867;+30ab+b²。所以极少有人笔算的第二步,51，b即为2，把试商减1后重做第三步。

第三步，b(20a+b)=2X22=44

第四步，把试商减1后b=3重做第三步;+30ab+b²：300a²：(10a+b)²。若差为0;+30ab+b²。用最后一步的a=12和b=3就构成结果123

开高次方的方法类似，把试商减1后重做第三步：20a+b=244;的a²，继续下一步，即1。

第二步;+30ab+b²，b(300a²=364，b(20a+b)=4X244=976

。重复第二步，试商2，到第六步

第三步，到第六步

第六步，且下一节亦为0：第一节为1，试商4，这时的a已经是12了：公式中括号里300a²，即1。重复第二步：300a²。若不够减：公式中括号里20a+b的a是被20倍出现的：开方结束：20a+b=243。用最后一步的a=12和b=3就构成结果123

开三次方的根据;b+30ab²：132867-132867=0，继续下一步;)

我们用1860867来举例。

;=100a²是被300倍出现的：51-44=7第三步，且下一节亦为0第三步;+b(20a+b)

我们用15129来举例，860开二次方的根据，试商2，所以a只能是1;+20ab+b²

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