第n+1项的二次项系数是C(r ,n)，只与r,n有关
展开项系数是字母前的常数，如(x+2)^4展开式中
第4项的是C(2 ,4)2^3,x
其中第4项的二次项系数是C(2 ,4)=6，第4项的系数是C(2 ,4)2^3=48。
扩展资料：
二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）,其中二次项x^2前面的系数a叫做二次项系数，x前面的系数b叫做一次项系数，c叫做常数项。
比如：y=3x^2+2x+1,3是二次项系数，2是一次项系数，1是常数项。
任何一个一元二次方程 都可以转换成 ax^2+bx+c=0 （a≠0）。
这里面 a就是二次项系数，也就是说，（a的一次幂+x的一次幂）整个整体，为二次项。
在一元二次方程或二次函数中，二次项系数的作用是决定函数图像的开口方向和开口大小，同时也运用在分析和求解二次不等式的根中。
二次项定理的公式为(a+b)^n=Cn0·a^n+Cn1 ·a^n-1·b+…+Cnr·a^n-r·b^r+…+Cnn·b^n(n∈N﹢)。
根据此定理，可以将x+y的任意次幂展开成和的形式
其中每个
为一个称作二项式系数的特定正整数，其等于
。这个公式也称二项式公式或二项恒等式。使用求和符号，可以把它写作
扩展资料
用数学归纳法证明二项式定理：
证明：当n=1时，左边＝（a+b)1＝a+b
右边＝C01a+C11b=a+b;左边＝右边
假设当n＝k时，等式成立，即（a+b)n=C0nan＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn成立；
则当n=k+1时, （a+b)(n+1)=（a+b)n(a+b)=[C0nan＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn](a+b)
=[C0nan＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn]a＋[C0nan＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn]b
＝[C0na(n+1)＋C1n anb十…十Crn a(n-r+1)br十…十Cnn abn]+[C0nanb＋C1n a(n-1)b2十…十Crn a(n-r)b(r+1)十…十Cnn b(n+1)]
＝C0na(n+1)＋(C0n+C1n)anb十…十(C(r-1)n+Crn) a(n-r+1)br十…十(C(n-1)n+Cnn)abn+Cnn b(n+1)]
＝C0(n+1)a(n+1)+C1(n+1)anb+C2(n+1)a(n-1)b2+…＋Cr(n+1) a(n-r+1)br+…+C(n+1)(n+1) b(n+1)
∴当n=k+1时，等式也成立；
所以对于任意正整数，等式都成立。
参考资料：
根据二项式定理，多项式的n次方展开公式，如下图所示：
其中二项式定理如下图所示：
扩展资料：
二项式定理（英语：Binomial theorem），又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664年、1665年间提出。该定理给出两个数之和的整数次幂诸如展开为类似项之和的恒等式。二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理。
参考资料：
x²的系数有 1+1+4=6。
公式就是二项式展开。
二次项定理(a+b)n＝Cn0an+Cn1an-1b1+…+Cnran-rbr+…+Cnnbn(n∈N)这个公式叫做二项式定理。
二项式定理又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664年、1665年间提出。该定理给出两个数之和的整数次幂诸如展开为类似项之和的恒等式。二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理。
扩展资料：
先验证1次方……
再假设k次方……
最后k+1时改成k次方乘以（a+b）带入上一步假设的利用多项式乘法解决问题。
例：证明：当n=1时，左边＝（a+b)1＝a+b
右边＝C01a+C11b=a+b
左边＝右边
假设当n＝k时，等式成立，
即（a+b)n=C0nan＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn成立;
则当n=k+1时, （a+b)(n+1)=（a+b)n(a+b)=[C0nan＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn](a+b)
=[C0nan＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn]a＋[C0nan＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn]＝[C0na(n+1)＋C1n anb十…十Crn a(n-r+1)br十…十Cnn abn]+[C0nanb＋C1n a(n-1)b2十…十Crn a(n-r)b(r+1)十…十Cnn b(n+1)]
＝C0na(n+1)＋(C0n+C1n)anb十…十(C(r-1)n+Crn) a(n-r+1)br十…十(C(n-1)n+Cnn)abn+Cnn b(n+1)]
＝C0(n+1)a(n+1)+C1(n+1)anb+C2(n+1)a(n-1)b2+…＋Cr(n+1) a(n-r+1)br+…+C(n+1)(n+1) b(n+1)
∴当n=k+1时，等式也成立；
所以对于任意正整数，等式都成立
二次项定理
(a+b)n＝Cn0an+Cn1an-1b1+…+Cnran-rbr+…+Cnnbn(n∈N)
这个公式叫做二项式定理,右边的多项式叫做(a+b)n的二次展开式,其中的系数Cnr(r＝0,1,……n)叫做二次项系数,式中的Cnran-rbr叫做二项展开式的通项,用Tr+1表示,即通项为展开式的第r+1项：Tr+1＝Cnraa-rbr
说明 ①Tr+1＝cnraa-rbr是(a+b)n的展开式的第r+1项r＝0,1,2,……n它和(b+a)n的展开式的第r+1项Cnrbn-rar是有区别的
②Tr+1仅指(a+b)n这种标准形式而言的,(a-b)n的二项展开式的通项公式是Tr+1＝(-1)rCnran-rbr
③系数Cnr叫做展开式第r+1次的二项式系数,它与第r+1项关于某一个(或几个)字母的系数应区别开来
特别地,在二项式定理中,如果设a＝1,b＝x,则得到公式：
(1+x)n＝1+cn1x+Cn2x2+…+Cnrxa+…+xn
当遇到n是较小的正整数时,我们可以用杨辉三角去写出相应的系数
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