球体积公式的由来

数学的故事:球卷的前世

俗话说“前人栽树后人乘凉”，古人的一些智慧结晶给我们的生活带来了很多便利。中西方数学家对球体体积的计算都做出了杰出的贡献。所以我们现在可以很容易的直接用数学公式V=(4/3)πr3计算出一个球体的体积。这个公式虽然简单，却凝聚了古今中外众多数学家的心血和汗水。那么这个公式从何而来呢？

在西方，古希腊数学家把用多边形逼近曲线图形的方法称为“穷举法”。早在公元前3世纪，阿基米德也用这种方法计算圆的周长、面积和圆周率。阿基米德一直为自己对球体体积的计算而自豪。考虑一个球体，它的外切圆柱和一个辅助圆锥。基本的方法是将这些固体分成无数的薄片，用力学平衡的方法比较它们的体积，最后得到球体体积的正确公式。阿基米德的方法可以看作是积分学的先驱。

虽然西方数学家阿基米德研究球体积的计算更早，但在我国南北朝时期，祖冲之父子独立发展的“祖原理”比阿基米德的内容更丰富，涉及的问题也更复杂。祖冲之和儿子祖宣一起，用巧妙的方法解决了球的体积计算问题。

在《九章算术》中，人们认为球体的外切圆柱与球体的体积之比等于正方形的面积与其内切圆的面积之比。刘徽为《九章算术》作注时，指出原书中的说法不正确。只有“牟和方盖”(两个垂直相交的圆柱体的公共部分的体积)与球体的体积之比，恰好等于正方形与其内切圆的面积比。而刘辉没有得到两个圆柱体垂直相交的体积公式，所以得不到球形体积公式。祖冲之父子应用“在同一高度截面积相同的两个立体，其体积必相等”的原理，计算牟和方盖的体积。并且球体的体积等于π/4倍“牟和方盖”的体积，从而最终计算出球体的体积。这个公式就是著名的“祖宣公理”。

从上图我们知道:(1/2)V球=(2/3)πr3，最后，V球=(4/3)πr3。球的体积公式就是由此推导出来的。