古代数学家刘徽创造“牟合方盖”，祖冲之用它求出球体的体积公式

求已知体积的球体直径的方法，在我国著名的数学著作《九章算术》中有记载，叫做“开圆”，“定圆”就是球体。

所谓“开圆术”，书中说:“取积尺，乘十六，除九，即丸径。”意思是球体的半径等于体积的16/9倍，然后是平方。同时得到球体的体积公式:半径的9/16的三次方。

当然，我们一眼就能看出这个公式是错误的。但是，我们要知道，任何一个数学公式，无论看起来多么简单，都是一代代数人一点点努力的结果。现在我们都看到了错误，更别说数学家了。其中，魏晋数学家刘徽在为《九章算术》做注释时发现了其中的错误。

刘辉发现，如果吴等于3，则请求球的体积会小于实际球的体积；如果我们算成4，球的体积会比实际的大。虽然它们之间存在一些差异，但它们可以互补。如果直接按9/16的比例计算，误差会大很多。经过不断的研究，刘辉创造了一个独特的立体图形，希望通过这个图形找到球体的体积公式。

因为这个图形从上到下看起来像两把对称的伞，而且一般看起来像一个方盒子，所以叫牟河方盖。根据刘徽的《九章算术笔记》，刘徽构造了一个横截面为正方形的立体图形，然后是一个与横截面等高的圆。一般来说，它是由两个相同的圆柱体垂直相交得到的几何图形。刘徽将此图命名为“牟河方盖”。

当时刘辉已经算出圆周率是3.1416。他还可以得到圆和它的外接圆的面积比从π到4。他希望通过类比推理证明《九章算术》中的公式是错误的，进而得出球体的体积公式。

刘辉通过计算证实了《九章算术》的错误，但我就不详细解释是怎么得出的了。毕竟我们说的是历史，不是数学。同时，刘辉还希望通过“牟和方盖”计算出球的体积，因为“牟和方盖”的体积与其内接球体的体积有很大的相关性。可惜刘徽一生都没有解决这个问题，直到200年后才彻底解决这个问题。

解决这个问题的人是他的儿子祖宣，南北朝时期杰出的数学家。他们沿袭了刘徽的思想，把原来的“牟和房改”分成了八个相同的部分，取八分之一进行研究。这个思路和著名的Ducal坐标系非常相似，也验证了一个重要的结论:人类文明发展的总体趋势都是同一个方向。

祖父子经过一系列研究，彻底解决了球体的体积问题。这个公式虽然比欧洲的阿基米德出得晚一点，但推导方法却大不相同。刘徽、祖父子使用的方法也是数学领域的杰出成就。其中祖冲之的计算过程还用到了他发现的一个结论:“如果边和势相同，积不能不同。”这就是意大利数学家卡瓦列里命名的卡瓦列里原理。但祖冲之的时间比早1000年，这意味着最早发现这一原理的人应该是祖父子。

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