A是n阶非零实矩阵，且A*=AT.证明：A是可逆矩阵。

证明过程如下：

A=AT

AA=AAT

而AA=|A|E

AAT=|A|E

然后用反证法，假设A不可逆，即|A|=0

则AAT=0E=O

根据一个矩阵乘以其转置矩阵为零矩阵时，这个矩阵必为零矩阵。

于是A=O，这与题设矛盾，所以假设不成立。

所以A是可逆阵。

扩展资料：

可逆矩阵性质：

下面是充分必要条件:

1行列式不等于零

2等价标准形是单位矩阵

3以表示成初等矩阵的乘积

4AX=0只有零解

5行(列)向量组线性无关

6行(列)向量组构成R^n的基

7特征值都不为0

矩阵A为n阶方阵，若存在n阶矩阵B，使得矩阵A、B的乘积为单位阵，则称A为可逆阵，B为A的逆矩阵。若方阵的逆阵存在，则称为可逆矩阵或非奇异矩阵，且其逆矩阵唯一。

可逆矩阵的计算公式：

A^(-1)=(︱A︱)^(-1) A﹡(方阵A的行列式的倒数乘以A的伴随矩阵)。

这个公式在矩阵A的阶数很低的时候（比如不超过4阶）效率还是比较高的，但是对于阶数非常高的矩阵，通常我们通过对2nn阶矩阵[A In]进行行初等变换，变换成矩阵[In B],于是B就是A的逆矩阵。

参考资料来源：百度百科-可逆矩阵

逆矩阵的性质：

1、可逆矩阵是方阵。

2、矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。

3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。

4、如果矩阵A可逆，则A的转置矩阵AT也可逆，且(AT)–1=(A–1)T。

5、矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

6、两个可逆矩阵的乘积依然可逆。

定理

（1）逆矩阵的唯一性。若矩阵A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的，并记作A的逆矩阵为A-1。

（2）n阶方阵A可逆的充分必要条件是r(A)=m。对n阶方阵A,若r(A)=n,则称A为满秩矩阵或非奇异矩阵。

证明矩阵可逆的方法如下

1、矩阵的秩小于n，那么这个矩阵不可逆，反之可逆；

2、矩阵行列式的值为0，那么这个矩阵不可逆，反之可逆；

3、对于齐次线性方程AX=0，若方程只有零解，那么这个矩阵可逆，反之若有无穷解则矩阵不可逆；

4、对于非齐次线性方程AX=b，若方程只有特解，那么这个矩阵可逆,反之若有无穷解则矩阵不可逆。

一、逆矩阵

设A是数域上的一个n阶方阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得： AB=BA=E。 则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。

注：E为单位矩阵。

二、定义

一个n阶方阵A称为可逆的，或非奇异的，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=E

并称B是A的一个逆矩阵。不可逆的矩阵称为非奇异矩阵。A的逆矩阵记作A-1。

三、性质

1、可逆矩阵一定是方阵。

2、（唯一性）如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。

3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作（A-1）-1=A。

4、可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T (转置的逆等于逆的转置）

5、若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。

6、两个可逆矩阵的乘积依然可逆。

7、矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

4、证明

1、逆矩阵是对方阵定义的，因此逆矩阵一定是方阵。

设B与C都为A的逆矩阵，则有B=C。

2、假设B和C均是A的逆矩阵，B=BI=B（AC）=（BA）C=IC=IC，因此某矩阵的任意两个逆矩阵相等。

3、由逆矩阵的唯一性，A-1的逆矩阵可写作（A-1）-1和A，因此相等。

4、矩阵A可逆，有AA-1=I 。（A-1） TAT=（AA-1）T=IT=I ，AT（A-1）T=（A-1A）T=IT=I

5、由可逆矩阵的定义可知，AT可逆，其逆矩阵为（A-1）T。而（AT）-1也是AT的逆矩阵，由逆矩阵的唯一性，因此（AT）-1=（A-1）T。

1）在AB=O两端同时左乘A-1（BA=O同理可证），得A-1（AB）=A-1O=O

而B=IB=（AA-1）B=A-1（AB），故B=O

2）由AB=AC（BA=CA同理可证），AB-AC=A(B-C)=O，等式两边同左乘A-1，因A可逆AA-1=I 。

得B-C=O，即B=C。

正定矩阵可逆。

因为正定的充分必要条件是其顺序主子式全大于0，若矩阵A正定，则必有

|A|（矩阵A的行列式）>0，所以矩阵A可逆。

设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有zTMz>

0，其中zT 表示z的转置，就称M为正定矩阵。例如：B为n阶矩阵，E为单位矩阵，a为正实数。在a充分大时，aE+B为正定矩阵。（B必须为对称阵）。

或者一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有zTMz>

0。其中zT表示z的转置。

扩展资料：

正定矩阵有以下性质 ：

（1）正定矩阵的行列式恒为正；

（2）实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同；

（3）若A是正定矩阵，则A的逆矩阵也是正定矩阵；

（4）两个正定矩阵的和是正定矩阵；

（5）正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。

B(AB)^-1 = A^-1 B^-1 B

=> (AB)^-1 = A^-1 B^-1

这一步是不成立的，你的依据是什么？

B(AB)^-1 = BB^-1 A^-1

=> (AB)^-1 = B^-1 A^-1

上面这个是两边同乘以 B^-1得到的

不是方阵的矩阵没有逆矩阵，因为可逆矩阵一定是方阵。

一个n阶方阵A称为可逆的，或非奇异的，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=E，则称B是A的一个逆矩阵。A的逆矩阵记作A-1。

可逆矩阵的性质：

1、可逆矩阵一定是方阵，逆矩阵是对方阵定义的，因此逆矩阵一定是方阵。

2、如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的，即：设B与C都为A的逆矩阵，则有B=C。

3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作（A^-1）^-1=A。

相关定理：

1、可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且（A^T）-1=（A-1）^T (转置的逆等于逆的转置）

2、若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。

3、两个可逆矩阵的乘积依然可逆。

4、矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

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