先求定义域：
分母不能为0，所以3^x-1≠0，3^x≠1，x≠0
所以f（x）的定义域分为两个分开的区间（-∞，0）和（0，+∞），在这两个区间里面分别讨论。
f（x）=（3^x+1）/（3^x-1）
=1+（2/（3^x-1））
当x∈（-∞，0）时
3^x-1＜0，且单调递增
所以2/（3^x-1）＜0，且单调递减。
所以f（x）=1+（2/（3^x-1））＜1，且单调递减。
当x∈（0，+∞）时
3^x-1＞0，且单调递增。
所以2/（3^x-1）＞0，且单调递减。
所以f（x）=1+（2/（3^x-1））＞1，且单调递减。
所以f（x）在两个开区间（-∞，0）和（0，+∞）内各自都是单调递减函数。
注意：f（x）只是在两个开区间（-∞，0）和（0，+∞）内各自都是单调递减函数。，但是在整个定义域内，不是单调递减函数，因为如果取x1＜0，x2＞0，很明显，x1＜x2
那么f（x1）＜1＜f（x2）
所以在整个定义域内，不是单调递减函数，这也就是你在整个定义域范围内，用定义法无法证明其单调性的原因。此外3^x表示3的x次方，电脑没法把x打到上标去。
对a^x，a
>
0，讨论它的单调性就不能不先说明它的确切定义。
指数函数是定义在整个实数区间上的。我们先说在整数上的定义：
a^n
=
a
a
a
（n
>
0，下同）（n个a相乘）
a^0
=
1
a^(-n)
=
1
/
a^n
再说有理数集上的定义：
a^(1
/
n)
=
a的n次算术根，
a^(p
/
q)
=
(a^p)的q次算术根，其中p
/
q是既约分数
这样一来，有理数集上的指数函数就定义好了。并且用初等的方法不难证明在有理数集上a^(p
/
q)的单调性。事实上，对a^(p1
/
q1)和a^(p2
/
q2)，可以把分数p1
/
q1和p2
/
q2通分，这样分母相同，设分别是p1'
/
q，
p2'
/
q。现在就是在比以a^(1
/
q)为底，以p1'和p2'为指数的两个数大小。显然当a
>
1时，a^(1
/
q)
>
1，从而可知函数是严格单调增的；反之，a
<
1时，也能证出函数是严格单调减的
对a^x，a > 0，讨论它的单调性就不能不先说明它的确切定义。
指数函数是定义在整个实数区间上的。我们先说在整数上的定义：
a^n = a a a （n > 0，下同）（n个a相乘）
a^0 = 1
a^(-n) = 1 / a^n
再说有理数集上的定义：
a^(1 / n) = a的n次算术根，
a^(p / q) = (a^p)的q次算术根，其中p / q是既约分数
这样一来，有理数集上的指数函数就定义好了。并且用初等的方法不难证明在有理数集上a^(p / q)的单调性。事实上，对a^(p1 / q1)和a^(p2 / q2)，可以把分数p1 / q1和p2 / q2通分，这样分母相同，设分别是p1' / q， p2' / q。现在就是在比以a^(1 / q)为底，以p1'和p2'为指数的两个数大小。显然当a > 1时，a^(1 / q) > 1，从而可知函数是严格单调增的；反之，a < 1时，也能证出函数是严格单调减的
指数函数的性质
1、定义域：R
2、值域：（0，＋∞）
3、过点（0，1），即x=0时，y=1
4、当a＞1时，在R上是增函数；当0＜a＜1时，在R上是减函数
5、函数图形都是上凹的。
6、函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且永不相交。
7、指数函数无界。
8、指数函数是非奇非偶函数
扩展资料
1、求函数y=(1-6(x-2))1/2的定义域和值域
解：（提示：本体为指数函数定义域和值域问题）依题意,
1-6(x-2)≥0,
解得：x-2≤0，即x≤2
所以函数的定义域为{x| x≤2},
令t=6(x-2),则0≤t≤1，所以：
y=(1-t)1/2,可得：0≤y≤1
所以函数的值域为{y|0≤x≤1}。
2、已知(a2+2a+5)3x>(a2+2a+5)(1-x)，则x的取值范围是是什么。
解：因为a2+2a+5=(a+1)2+4 > 0，由指数函数单调性质可知：
∴3x > 1-x
解得x>1/4（提示：本体为不等式与指数函数单调性综合问题）
所以x的取值范围为{x|x>1/4}。
参考资料来源：百度百科-指数函数
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