导数高中数学知识点,导数的相关知识

arctanx的导数（高三数学知识点-导数）

1.导数的定义(导函数的缩写):设x0为函数y=f(x)的定义域中的一点。如果自变量x在x0中有一个增量x，函数y的值会引起相应的增量y = f(x0+x)-f(x0)；比值y/x = [f (x0+x)-f (x0)]/x称为函数y=f(x)在点x0和x0+x之间的平均变化率；如果极限

存在，则称函数y=f(x)在点x0可导，这个极限称为y=f(x)在x0的导数，记为f (x0)或y | x = x0，即f(x0)= 1

。

注:① X是增量，由于X可以是正的，也可以是负的，但不能是零，所以也叫“变化量”。

②如果函数y=f(x)定义域是A，y = f′(x)的定义域是B，那么A和B之间的关系是包含且等于。

2.函数y=f(x)在点x0的连续性与在点x0的可微性之间的关系:

⑵函数y=f(x)在点x0的连续性是y=f(x)在点x0可导的充要条件。

可以证明，如果y=f(x)在点x0可导，那么y=f(x)在点x0连续。

实际上，如果x = x0+x，那么x→x0等价于x → 0。

因此

⑵若y=f(x)在点x0连续，则y=f(x)在点x0可导，不成立。

例:f(x)=|x|在点x0=0连续，但在点x0=0不可导，因为y/x = | x |/x，当x > 0时，y/x = 1；当x < 0时，y/x =-1，所以

不存在。

注:①可导奇函数函数的导函数是偶数。

②导函数为奇函数的可导偶函数。

3.导数的几何意义:

函数y=f(x)在点x0的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0，f(x))的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点P(x0，f(x))的切线的斜率是f'(x0)，切线方程

4.求导数的四种算法:

(u v)' = u ' v ' = gt；y=f₁(x)+f₂(x)+...+fn(x)= gt；y'=f'₁(x)+f'₂(x)+...+f'n(x)

(uv)' = vu '+v ' u = gt；(cv)'=c'v+cv'=cv'(c是常数)

(u/v)'=(vu'-v'u)/v (v≠0)

注意:① U和V必须是可导函数。

②若两个函数可导，则其和、差、积、商必可导；如果两个函数都不可导，那么它们的和、差、积、商不一定不可导。

例如，如果f(x)=2sinx+2/x，g(x)=cosx-2/x，那么f(x)和g(x)在x=0处都不可导，但在x=0处它们与f(x)+g(x)=sinx+cosx可导。

5.复合函数的求导规则:f'x(φ(x))=f'(u)φ'(x)或y ' x = y ' u u。

复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情况。

6.函数的单调性:

(1)确定函数单调性的方法:设函数y=f(x)在一定区间可导，若f' (x) > 0，则y=f(x)为增函数；如果f' (x) < 0，那么y=f(x)是一个减函数。

⑵常数的确定方法；

如果函数y=f(x)在区间I中总是有f'(x)=0，那么y=f(x)是常数。

注:①F(x)>；0是增加f(x)的充分条件，但不是必要条件。比如y = 2x不都有f (x)在(-∞，+∞)>；0，有一点例外，即当x=0时，f(x) = 0。同样，f (x)<是f(x)降的充要条件。

②一般来说，如果f(x)在某个区间的有限个数的点上为零，而在其他所有的点上为正(或负)，那么f(x)在这个区间内仍然会单调增加(或减少)。

7.极值的判别方法:(极值是x0附近的所有点，其中有f(x) < f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的最大值，最小值相同)

当函数f(x)在点x0连续时，

①如果在x0附近左f' (x) > 0，右f' (x) < 0，则f(x0)最大；

②如果在x0附近，左边的f '(x)< 0，右边的f '(x)> 0，则f(x0)为最小值。

也就是说，x0为极值点的充分条件是x0点两边的导数符号不同，而不是f'(x)=0①。另外，函数的不可导点也可能是极值点②。当然，极值是一个局部概念，极值点之间的关系是不确定的，即有可能最大值小于最小值(函数某一点附近的点是不同的)。

①注:若点x0是可导函数f(x)的极值点，则f'(x)=0。但反过来就不一定了。对于可导函数，其点x0为极值点的必要条件是，如果函数在该点可导，则导数值为零。

比如函数y = f (x) = x，x=0使得f'(x)=0，但x=0不是极值点。

②例如，函数y=f(x)=|x|在点x=0处不可导，但点x=0是函数的极小点。

8.极值与最大值的区别:极值比较局部的函数值，最大值比较整个区间的函数值。

注意:函数的极值点必须有意义。

9.几种常见的功能衍生物:

I.C'=0(C为常数)(sinx)' = cosx (arcsinx)' = 1/√ (1-x)

(x)' = NX (n-1)的(n∈r)(cosx)' =-sinx(arc cosx)' =-1/√( 1-x)

二。(lnx)' = 1/x(log a x)' = 1/xlogae(arctanx)' = 1/(x+1)

(E的X次方)' = e的X次方(A的X次方)' =a的X次方LNA (ARCCOTX)' =-1/(X+1)

三。常见的推导方法:

①常见结论:(ln | x |)' = 1/x .

②形如y = (x-a) (x-a)...(x-an)或y = (x-a) (x-a)...(x-an)/(x-b) (x-b)...(x-bn)两边取自然对数，可以换算。

③无理函数或y=x的x次方之类的函数，如y=x的x次方，取自然对数后可转化为y=lnx，y/y = lnx+x * 1/x = >两边求导即可；y ' = ylnx+y = gt；Y'=x的x次方lnx+x的x次方。