双曲余弦函数在实数范围内不是单调函数，没有反函数。对于双曲正弦，y=(exp(x)-exp(-x))/2,令x，y互换，得到x=(exp(y)-exp(-y))/2,设t=exp(y),则有x=(t-1/t)/2,即t^2-2xt-1,由于t>0，故t=x+(x^2+1)^05,y=ln(t)=ln(x+(x^2+1)^05)。在复数范围内sinh(z)=(exp(z)-exp(-z))/2,cosh(z)=(exp(z)+exp(-z)),asinh(z)=ln(z+(z^2+1)^05),acosh(z)=ln(z+(z^2-1)^05),推导方法为：w=asinh(z),则z=sinh(w)=(exp(w)-exp(-w))/2,和实数范围内的相似，但注意此时它们是多值函数，性质很复杂，大学中有专门的课程《复变函数》，会详细的讲解的。
双曲余弦函数的定义是这样的。
具体这个定义是怎么来的，可能和双曲线有关系，这里我就不商讨了。而且双曲余弦函数y=coshx也可简写为y=chx。y=chx和y=coshx都是一样的。
双曲余弦函数的定义域是 ，值域是 ，当x=0时，x取到最小值1。
由于
而
根据加法交换律可得知f(x)=f(-x)，很明显，双曲余弦函数是偶函数。
双曲余弦函数y=cosh x，在区间 内它是单调减少的，在区间 内它是单调增加的。cosh 0=1是该函数的最小值。
根据双曲余弦函数的导数，可知由于分母是永远大于0的，而分子中 也是永远大于0。只有 在x=0时是等于0。在x<0时。 <0。在x>0时。 得出当x<0时，双曲余弦函数的导数永远小于0。当x>0时，双曲余弦函数的导数永远大于0。那么它在 内单调递减的，在 内单调递增。在x=0时，最小值为1。无最大值。
由于(coshx)'= ，那么双曲余弦函数的二阶导数为那么(coshx)''=( )'=( )'= =coshx，可见双曲余弦函数的二阶导数是它本身。而双曲余弦函数的值域是 。那么双曲余弦函数的二阶导数在实数集R上恒大于0。
而根据函数凹凸性的判定方法（定理）：
设f(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内具有一阶导数和二阶导数，那么：
(1)若在（a,b）内，f''(x)>0，则f(x)在[a,b]上的图形是凹的。
(2)若在（a,b）内，f''(x)<0，则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。
根据上面的函数凹凸性判断定理。得出那么无论是在那个单调区间，双曲余弦函数都是凹函数。
无论是双曲余弦函数y=cosh x，还是双曲正弦函数y=sinh x、双曲正切函数y=tanh x，它们都不是周期函数。
双曲余弦函数的导数是双曲正弦函数。即(coshx)'=sinhx，也可以转化为(coshx)'=sinhx= =
其中，C为常数。可见，双曲余弦函数的不定积分，除去常数C，也是双曲正弦函数。
双曲余弦函数的泰勒展开式为：
即
双曲余弦函数的反函数是反双曲余弦函数。它记作arcoshx。其中，x满足条件： 。反双曲余弦函数的图像原本有x轴上方的一支和x轴下方的一支。即且这两支关于x轴对称。但是，这样子会造成一个自变量x对应两个函数值，不符合函数的定义。为了符合函数的定义，一般取x轴上方的那一支。因而得到了反双曲余弦函数的定义式。 ，其中 。双曲余弦的反函数，即反双曲余弦函数y=arcoshx的定义域为[1，+∞）。它在[1，+∞）上是单调递增的。
双曲余弦函数的图像是一条有点像抛物线（二次）但不是抛物线的曲线。因这条曲线与两端固定的绳子（或铁链）在均匀引力作用下下垂相似。这条曲线称作悬链线。悬链线就是双曲余弦函数的图像。悬链线的数学表达式为 。其中，a为常数。当a=1时，所得的函数（图像）正好是双曲余弦函数（图像）。
双曲余弦函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。其中，拉普拉斯方程可能用到双曲余弦函数外，还有双曲正弦函数、双曲正切函数等。
双曲函数这样读
如下：（普通话拼音读法）
双(shuāng)曲(qǔ)函(hán)数(shù)
拼音，是拼读音节的过程，就是按照普通话音节的构成规律
把声母、介母、韵母急速连续拼合并加上声调而成为一个音节。
y=sinh x，定义域：R，值域：R，奇函数，函数图像为过原点并且穿越Ⅰ、Ⅲ象限的严格单调递增曲线，函数图像关于原点对称。
y=cosh x，定义域：R，值域：[1,+∞)，偶函数，函数图像是悬链线，最低点是（0，1），在Ⅰ象限部分是严格单调递增曲线，函数图像关于y轴对称。
y=tanh x，定义域：R，值域：(-1,1)，奇函数，函数图像为过原点并且穿越Ⅰ、Ⅲ象限的严格单调递增曲线，其图像被限制在两水平渐近线y=1和y=-1之间。
y=coth x，定义域：{x|x≠0}，值域：{x||x|>1}，奇函数，函数图像分为两支，分别在Ⅰ、Ⅲ象限，函数在(-∞,0)和(0,+∞)分别单调递减，垂直渐近线为y轴，两水平渐近线为y=1和y=-1。
y=sech x，定义域：R，值域：(0,1]，偶函数，最高点是(0,1)，函数在(0,+∞)严格单调递减，(-∞,0)严格单调递增。x轴是其渐近线。
y=csch x，定义域：{x|x≠0}，值域：{x|x≠0}，奇函数，函数图像分为两支，分别在Ⅰ、Ⅲ象限，函数在(-∞,0)和(0,+∞)分别单调递减，垂直渐近线为y轴，两水平渐近线为x轴。
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