首先要保证函数y=f（x）在包含a点的开区间I上严格单调且连续,如果这函数在a点可导并且导数f'（a）≠0,那么反函数x=g（y）在点b=f（a）可导,且g'（b）=1/f'（a）=1/f'（g（b））
证明：在所给条件下,函数x=g（y）也严格单调且连续于是,当y≠b,y→b时,有g（y）≠g（b）,g（y）→g（b）因而：
lim[（g（y）→g（b））/（y-b）]=lim1/[（y-b）/（g（y）→g（b））]=lim1/[(f（x）-f（a）)/（x-a）]=1/f'（a）=1/f'（g（b））
举例法：
f(x)=2x+3,f(x)的反函数为g(x)
y=2x+3
y-3=2x
2x=y-3
x=(y-3)/2=1/2y-3/2
y=1/2x-3/2
g(x)=1/2x-3/2。
f'=2,g'=1/2
g'=1/f'
这个推论是否能推广到一般，即对于任意存在反函数的函数f(x)的导数为f(x)的导函数的倒数，
g'=1/f'。
y=f(x)。的反函数y=g(x)。
令f(x)在x=x0上右一点P(x0,y0),y0=f(x0），则P关于y=x的对称点P'(x0',y0')。x0'=y0,y0'=x0,P'(y0,x0),在反函数y=g(x)上，y0=g(x0),
x=g(y)。
两边求导。
1=g'xy'=g'xf'
g'=1/f'
证明完毕，因为反函数的y就是原函数的x,反函数的自变量x就是原函数的应变量y,反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域，所以反函数与原函数关于y=x对称，然后反函数在Px=x0的到数值则为f在x=x0的导数值得导数
比如y=(x)^1/2在（0，+无穷）上的的反函数为y=x^2。（0,+无穷）的导函数。P(4,2),
P'(2,4)在反函数y=x^2上。
y'=1/2x^(-1/2)。y'（4）=1/2x4^(-1/2)=1/2x1/2=1/4
y'=2x
y'(2)=2x2=4。
y'(2)xy'(4)=4x1/4=1
反函数在P(a,b)上的导数值=原函数在P'(b,a)上的导数值的倒数。
过程如下：
y=f(x)
要求d^2x/dy^2
dx/dy=1/(dy/dx)=1/y'
d^2x/dy^2=d(dx/dy)/dxdx/dy
=-y''/y'^21/y'
=-y''/y'^3
：
二阶函数的代数记法
二阶导数记作
即y''=（y'）'。
例如：y=x²的导数为y'=2x，二阶导数即y'=2x的导数为y''=2。
一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x=
g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^(-1)(x)
。反函数y=f
^(-1)(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。
一般地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，y=f（x），则y=f（x）的反函数为x=f (y)或者y=f﹣¹（x）。存在反函数(默认为单值函数）的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）。注意：上标"−1"指的并不是幂。
参考资料：
答：设原函数为y=f(x)，则其反函数在y点的导数与f'(x)互为倒数（即原函数，前提要f'(x)存在且不为0）。解释如下图：
一定要注意，是反函数与原函数关于y=x的对称点的导数互为倒数，不能随便对应哦！
附上反函数二阶导公式。
1、反正弦函数的求导：(arcsinx)'=1/√(1-x^2)
2、反余弦函数的求导：(arccosx)'=-1/√(1-x^2)
3、反正切函数的求导：(arctanx)'=1/(1+x^2)
4、反余切函数的求导：(arccotx)'=-1/(1+x^2)
为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2，将y作为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x。
相应地。反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2<y<π 2；反余切函数y="arccot" x的主值限在0<y<π。
1、反正弦函数
正弦函数y=sin x在[-π/2，π/2]上的反函数，叫做反正弦函数。记作arcsinx，表示一个正弦值为x的角，该角的范围在[-π/2，π/2]区间内。定义域[-1，1] ，值域[-π/2，π/2]。
2、反余弦函数
余弦函数y=cos x在[0，π]上的反函数，叫做反余弦函数。记作arccosx，表示一个余弦值为x的角，该角的范围在[0，π]区间内。定义域[-1，1] ， 值域[0，π]。
3、反正切函数
正切函数y=tan x在（-π/2，π/2）上的反函数，叫做反正切函数。记作arctanx，表示一个正切值为x的角，该角的范围在（-π/2，π/2）区间内。定义域R，值域（-π/2，π/2）。
5、反余切函数
余切函数y=cot x在（0，π）上的反函数，叫做反余切函数。记作arccotx，表示一个余切值为x的角，该角的范围在（0，π）区间内。定义域R，值域（0，π）。
6、反正割函数
正割函数y=sec x在[0，π/2）U（π/2，π]上的反函数，叫做反正割函数。记作arcsecx，表示一个正割值为x的角，该角的范围在[0，π/2）U（π/2，π]区间内。
定义域（-∞，-1]U[1，+∞），值域[0，π/2）U（π/2，π]。
7、反余割函数
余割函数y=csc x在[-π/2，0）U（0，π/2]上的反函数，叫做反余割函数。记作arccscx，表示一个余割值为x的角，该角的范围在[-π/2，0）U（0，π/2]区间内。定义域（-∞，-1]U[1，+∞），值域[-π/2，0）U（0，π/2]。
扩展资料：
反三角函数的公式：
反三角函数的和差公式与对应的三角函数的和差公式没有关系：
y=arcsin(x)，定义域[-1，1]，值域[-π/2,π/2]；
y=arccos(x)，定义域[-1，1]，值域[0，π]；
y=arctan(x)，定义域(-∞，+∞)，值域(-π/2，π/2)；
y=arccot(x)，定义域(-∞，+∞)，值域(0，π)；
sin(arcsinx)=x，定义域[-1，1]，值域[-1，1]arcsin(-x)=-arcsinx；
证明方法如下：设arcsin(x)=y,则sin(y)=x，将这两个式子代入上式即可得。
其他几个用类似方法可得。
cos(arccosx)=x，arccos(-x)=π-arccosx。
tan(arctanx)=x，arctan(-x)=-arctanx。
反三角函数其他公式：
cos(arcsinx)=√（1-x^2）。
arcsin(-x)=-arcsinx。
arccos(-x)=π-arccosx。
arctan(-x)=-arctanx。
arccot(-x)=π-arccotx。
arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx。
sin(arcsinx)=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)=x。
当x∈[-π/2，π/2]有arcsin(sinx)=x。
x∈[0，π]，arccos(cosx)=x。
x∈(-π/2，π/2)，arctan(tanx)=x。
x∈(0，π)，arccot(cotx)=x。
x>0，arctanx=π/2-arctan1/x，arccotx类似。
若(arctanx+arctany)∈(-π/2，π/2)，则arctanx+arctany=arctan((x+y)/(1-xy))。
三角函数的诱导公式（四公式） 。
公式一： sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα tan (-α)=-tanα 。
公式二： sin(π/2-α) = cosα cos(π/2-α) = sinα 。
公式三： sin(π/2+α) = cosα cos(π/2+α) = -sinα 。
公式四： sin(π-α) = sinα cos(π-α) = -cosα 。
参考资料来源：百度百科-反三角函数
反函数求导：
1、反函数的导数就是原函数导数的倒数。
2、设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^(-1)(x) 。
反函数y=f ^(-1) (x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。
3、若一函数有反函数，此函数便称为可逆的。
4、求导是数学计算中的一个计算方法。
5、导数定义为：当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。
在一个函数存在导数时称这个函数可导或者可微分。
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