用斐波那契数列解答兔子的繁殖

13世纪意大利数学家斐波那契在他的《算盘书》中提出这样一个问题：有人想知道一年内一对兔子可繁殖成多少对，便筑了一道围墙把一对兔子关在里面。已知一对兔子每一个月可以生一对小兔子，而一对兔子出生后第二个月就开始生小兔子。假如一年内没有发生死亡，则一对兔子一年内能繁殖成多少对？ 我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下： 第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对 两个月后，生下一对小兔民数共有两对 三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对 －－－－－－ 依次类推可以列出下表： 经过月数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 幼仔对数 0 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 成兔对数 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 总体对数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 幼仔对数=前月成兔对数 成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数 总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数 可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。 这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在<算盘全书>中提出的，这个级数的通项公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1)的性质外，还可以证明通项公式为：an=（1/√5）{[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}（n=1,2,3）

斐波那契数列特殊性质在于他的递推关系，最早兔子问题

1,1,2,3,5,8,13,21，

从第三项开始An=An-1+An-2,即后面一项是前2项之和，

将首项增减，或改变递推关系，可以得到一些变种

斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>2，n∈N）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。

详见>

公式如下:

一、递归公式：a1=1;a2=1;a(n)=a(n-1)+a(n-2)(n>=3)

二、通项公式：

a(n)=(1/√5){[(1+√5)/2]^n

-[(1-√5)/2]^n}

三、证明过程：（方法：数学归纳）

1。当n=1时，a1=1,例题成立；

2。设当n=k时，命题成立，即：

a(k)=(1/√5){[(1+√5)/2]^k

-[(1-√5)/2]^k}

那么，当n=k+1时，有：a(k+1)=(1/√5){[(1+√5)/2]^k-[(1-√5)/2]^k}+(1/√5){[(1+√5)/2]^(k-1)-[(1-√5)/2]^(k-1)}为了写法方便，令c=(1/√5),A＝(1+√5)/2,B=(1-√5)/2，于是上式为：a(k+1)=c(A^k+A^(k-1)-B^k-B^(k-1))=c(A^(k-1)(1+A)-B^(k-1)(1+B))其中，1+A=A^2,1+B=B^2;(计算一下就知道了。）于是上式为:a(k+1)=c(A^(k+1)-B(K+1))=(1/√5){[(1+√5)/2]^(k+1)-[(1-√5)/2]^(k+1)}

你好！

解答：

生兔子数列叫做斐波那契数列，为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,……

规律是前两项的和为第三项

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兔子数列是在六年级下册数学 知识点为“斐波那契数列”

子数列即斐波那契数列，它的发明者是意大利数学家列昂纳多•斐波那契（Leonardo Fibonacci，1170—1250）。1202年，他撰写了《算盘全书》（《Liber Abaci》）一书，该书是一部较全面的初等数学著作。书中系统地介绍了印度—阿拉伯数码及其演算法则，介绍了中国的“盈不足术”；引入了负数，并研究了一些简单的一次同余式组。

古典问题：有一对兔子，从出生后第3个月起每个月都生一对兔子，小兔子长到第三个月后每个月又生一对兔子，假如兔子都不死，问每个月的兔子对数为多少？

兔子的规律为数列1,1,2,3,5,8,13,21符合斐波那契数列规律

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<pre>

第1个月的兔子对数为：1

第2个月的兔子对数为：1

第3个月的兔子对数为：2

第4个月的兔子对数为：3

第5个月的兔子对数为：5

第6个月的兔子对数为：8

第7个月的兔子对数为：13

第8个月的兔子对数为：21

第9个月的兔子对数为：34

第10个月的兔子对数为：55

第11个月的兔子对数为：89

第12个月的兔子对数为：144

</pre>

递归公式：

a1=1;

a2=1;

a(n)=a(n-1)+a(n-2)(n>=3)

通项公式：

a(n)=(1/√5){[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}

证明过程：（方法：数学归纳）

1当n=1时，a1=1,例题成立；

2设当n=k时，命题成立，即：

a(k)=(1/√5){[(1+√5)/2]^k - [(1-√5)/2]^k}那么，当n=k+1时，有：

a(k+1)=(1/√5){[(1+√5)/2]^k - [(1-√5)/2]^k}+(1/√5){[(1+√5)/2]^(k-1) - [(1-√5)/2]^(k-1)}

为了写法方便，令c=(1/√5),A=(1+√5)/2,B=(1-√5)/2，于是上式为：

a(k+1)=c(A^k+A^(k-1)-B^k-B^(k-1))=c(A^(k-1)(1+A)-B^(k-1)(1+B))

其中，1+A=A^2,1+B=B^2;

于是上式为：

a(k+1)=c(A^(k+1)-B(K+1))=(1/√5){[(1+√5)/2]^(k+1) - [(1-√5)/2]^(k+1)}

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