证明面面垂直的判定定理

判定定理：一个面如果过另外一个面的垂线,那么这两个面相互垂直即一个平面过另一平面的垂线,则这两个平面相互垂直

面面垂直的性质定理

在一个面中做一条垂直于两面交线的直线,则这条直线垂直于另一个面

1如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

2如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。

3如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。

4如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。

直线与平面垂直的判定定理（线面垂直定理）：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

推论1：如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。

推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。

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面面垂直的证明方法视频 面面垂直的证明方法初中部分

1利用直角三角形中两锐角互余证明

由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90° ，即直角三角形的两个锐角互余。

2勾股定理逆定理

3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。

面面垂直的证明方法高中部分

线线垂直分为共面与不共面。不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。

1向量法 两条直线的方向向量数量积为0

2斜率 两条直线斜率积为-1

3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线

一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边

4三垂线定理 在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

5三垂线定理逆定理 如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。

3高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)：

Ⅰ平行关系：

线线平行：1在同一平面内无公共点的两条直线平行。2公理4(平行公理)。3线面平行的性质。4面面平行的`性质。5垂直于同一平面的两条直线平行。

线面平行：1直线与平面无公共点。2平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。3两平面平行，一个平面内的任一直线与另一平面平行。

面面平行：1两个平面无公共点。2一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。

Ⅱ垂直关系：

线线垂直：1直线所成角为90°。2一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面内的任一直线垂直。

线面垂直：1一条直线与一个平面内的任一直线垂直。2一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直。3面面垂直的性质。4两条平行直线中的一条垂直与一个平面，那么另一直线也与此平面垂直。5一条直线垂直与两个平行平面中的一个，那么这条直线也与另一平面垂直。

线面垂直的性质定理：

性质定理1：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线垂直于平面内的所有直线。

性质定理2：经过空间内一点，有且只有一条直线垂直已知平面。

性质定理3：如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。

性质定理4：垂直于同一平面的两条直线平行。

线面垂直证明如下：

反证法

设有一直线l与面S上两条相交直线AB、CD都垂直，则l⊥面S

假设l不垂直于面S，则要么l∥S，要么斜交于S且夹角不等于90。

当l∥S时，则l不可能与AB和CD都垂直。这是因为当l⊥AB时，过l任意作一个平面R与S交于m，则由线面平行的性质可知m∥l

∴m⊥AB

又∵l⊥CD

∴m⊥CD

∴AB∥CD，与已知条件矛盾。

当l斜交S时，过交点在S内作一直线n⊥l，则n和l构成一个新的平面T，且T和S斜交（若T⊥S，则n是两平面交线。由面面垂直的性质可知l⊥S，与l斜交S矛盾）。

∵l⊥AB

∴AB∥n

∵l⊥CD

∴CD∥n

∴AB∥CD，与已知条件矛盾。

综上，l⊥S

如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

已知：α⊥β，α∩β=l，O∈l，OP⊥l，OP⊂α。

求证：OP⊥β。

证明：过O在β内作OQ⊥l，则由二面角知识可知∠POQ是二面角α-l-β的平面角。

∵α⊥β

∴∠POQ=90°，即OP⊥OQ

∵OP⊥l，l∩OQ=O，l⊂β，OQ⊂β

∴OP⊥β

扩展资料：

性质定理：

性质定理1：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线垂直于平面内的所有直线。

性质定理2：经过空间内一点，有且只有一条直线垂直已知平面。

性质定理3：如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。

性质定理4：垂直于同一平面的两条直线平行。

推论：空间内如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行。（该推论意味着平行线的传递性不仅在平面几何上，在空间几何上也成立。）

由性质定理2可知，过空间内一点（无论是否在已知平面上），有且只有一条直线与平面垂直。下面就讨论如何作出这条唯一的直线。

1、点在平面外：

设点P是平面α外的任意一点，求作一条直线PQ使PQ⊥α。

作法：

①在α内任意作一条直线l，并过P作PA⊥l，垂足为A。

此时，若PA⊥α，则所需PQ已作出；若不是这样，

②在α内过A作m⊥l。

③过P作PQ⊥m，垂足为Q，则PQ是所求直线。

证明：

由作法可知，l⊥PA，l⊥QA

∵PA∩QA=A

∴l⊥平面PQA

∴PQ⊥l

又∵PQ⊥m，且m∩l=A，m⊂α，l⊂α

∴PQ⊥α

2、点在平面内：

设点P是平面α内的任意一点，求作一条直线PQ使PQ⊥α。

作法：

①过平面外一点A作AB⊥α，作法见上。

②过P作PQ∥AB，PQ是所求直线。

证明：

由性质定理3可知，若作出了AB⊥α，PQ∥AB，那麼PQ⊥α。

参考资料来源：百度百科-面面垂直

1。证明平面与平面垂直的方法：（1）利用定义：证明二面角的平面角为直角；（2）利用“面面垂直”判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。简述为：“若线面垂直，则面面垂直”。2

平面与平面垂直的性质：（1）两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。简述为：“若面面垂直，则线面垂直”。（2）如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内。此性质可以作为面面垂直的性质定理直接应用3．“面面垂直”的判定定理和性质定理和“线面垂直”的判定定理和性质定理有密切联系，若注意到这一联系，则既可加深对垂直关系概念的系统理解，又可加强对有垂直关系的有关定理之间的内在联系的认识。例题：如图，过s引三条长度相等但不共面的线段sa、sb、sc，且∠asb=∠asc=60°，∠bsc=90°。求证：平面abc⊥平面bsc。作ad⊥平面bsc，d为垂足。

∵∠asb=∠asc=60°，sa=sb=sc，则as=ab=ac，

∴d为△bsc的外心。又∠bsc=90°，

∴d为bc的中点，即ad在平面abc内。

∴平面abc⊥平面bsc。证法二：

取bc的中点d，连接ad、sd，易证ad⊥bc，又△abs是正三角形，△bsc为等腰直角三角形，∴bd=sd∴ad2+sd2=

ad2+bd2=ab2=as2，由勾股定理的逆定理，知ad⊥sd，∴ad⊥平面bsc。又ad

平面abc，

∴平面abc⊥平面bsc。评注本题是证明面面垂直的典型例题，关键是将证明“面面垂直”问题转化为证明“线面垂直”。方法一是作平面的垂线而后证明它在另一个平面内；方法二则是在一个平面内找一条线段，证明它与另一个平面垂直。

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