切线长定理定义及推导

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线，平分两条切线的夹角。如图中，切线长AC=AB ，∠AOB=∠AOC，∠OAB=∠OAC。

∵∠ABO=∠ACO=90°BO=CO=半径AO=AO公共边∴RtΔABO≌RtΔACO（HL）∴AB=AC∠AOB=∠AOC∠OAB=∠OAC

切线的判定和性质

切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

几何语言：∵l ⊥OA，点A在⊙O上

∴直线l是⊙O的切线（切线判定定理）

切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点半径

几何语言：∵OA是⊙O的半径，直线l切⊙O于点A

∴l ⊥OA（切线性质定理）

推论1 经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点

推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

切线长定理

定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

几何语言：∵弦PB、PD切⊙O于A、C两点

∴PA=PC，∠APO=∠CPO（切线长定理）

弦切角

弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

几何语言：∵∠BCN所夹的是 ，∠A所对的是

∴∠BCN=∠A

推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等

几何语言：∵∠BCN所夹的是 ，∠ACM所对的是 ， =

∴∠BCN=∠ACM

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．

4．弦切角概念：顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角．它是继圆心角、圆周角之后第三种与圆有关的角．这种角必须满足三个条件：

（1）顶点在圆上，即角的顶点是圆的一条切线的切点；

（2）角的一边和圆相交，即角的一边是过切点的一条弦所在的射线；

（3）角的另一边和圆相切，即角的另一边是切线上以切点为端点的一条射线．

它们是判断一个角是否为弦切角的标准，三者缺一不可，比如下图中 均不是弦切角．

（4）弦切角可以认为是圆周角的一个特例，即圆周角的一边绕顶点旋转到与圆相切时所成的角．正因为如此，弦切角具有与圆周角类似的性质．

弦切角定理：弦切角等于它所夹的孤对的圆周角．它是圆中证明角相等的重要定理之一．

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

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切线长定理的应用试讲如下：

谢谢各位老师，今天我试讲的题目是《切线长定理的应用（习题课）》，现在开始我的试讲。上课，同学们好，同学们请坐！同学们，在正式上课前呀，老师想请大家回顾一下切线长定理的知识，谁还记得他们是什么？

你举手最快，好，你来说。哦，你说圆外一点可以引出两条相等的圆的切线，且这一点和圆心的连线平方两条切线的夹角。你表述的完整清晰，看来你对之前的知识掌握的特别牢固。这节课我们一起运用切线长定理的知识解决一道数学问题，请看黑板。

我们利用尺规作图的方法将图形画出来，已知三角形ABC的内切圆圆O，与三角形各条边的交点分别为D、E、F，我们现在已知AB＝9，AC＝13，BC＝14，对于这个问题，大家有思路嘛？老师看，很多同学都皱起了眉头，那么现在我们启动学习小组，讨论时间为5min。

在讨论的过程中，有任何问题都可以举手事宜。我看同学们讨论的都很激烈，想必已经有了解题的思路，现在讨论时间结束，有哪位小组愿意分享你们讨论出的结果呢？嗯，第二小组代表你来。

根据切线长定理，能够知道AF＝AE，BF＝BF，CD＝CE，所以三角形三条边和所要求的三条线段是有长度关系的，所以可以设所要求的三条线段是有长度关系的，所以可以设未知数来进行求解。嗯，非常好，思路非常清晰，声音也十分洪亮，那请你到黑板上进行板演，写出具体的解题过程吧。

好，同学们，大家都做完了呀。那大家再来看看自己的和他们的一样吗？好，都一样呀，老师在这里强调一点，这里的解题格式要规范，步骤要完整。老师已经将完整的解题过程呈现在大屏幕上了，同学们可以相比对一下。

好，我们今天学习了切线长定理的应用习题课，那谁能来总结一下我们切线长定理的应用的解题思路呢？好，你来说。哦，你说呀，解题的思路就是根据已知条件，根据切线长定理来设未知数，进而一步步的完成解题得出最后的答案。那中间什么是比较重要的呢？等量关系是最重要的。非常好，看来大家都已经掌握解题思路了。

那现在我们趁热打铁，完成多媒体中呈现的两道题目，找一位同学到黑板上板演，其他同学在练习本上完成。好，老师看大家都已经完成了，我们来看一看黑板上的解题过程，再结合多媒体多媒体中的过程，请大家同桌之间帮忙订正，如果有疑问的，可以小组内交流解决。

同学们，轻松又愉快的一节课马上就要过去了，有哪位同学愿意来分享一下你的收获呢？嗯，你手举得最快，那你来说。哦，他说呀，通过今天的练习课他能更加熟练的掌握切线长定理的应用问题课，那谁能来总结一下我们切线长定理的应用的解题思路呢？

好，你来说。哦，你说呀，解题的思路就是根据已知条件，根据切线长定理来设未知数，进而一步步的完成解题得出最后的答案。那中间什么是比较重要的呢？等量关系是最重要的。非常好，看来大家都已经掌握解题思路了。那现在我们趁热打铁，完成多媒体中呈现的两道题目，找一位同学到黑板上板演，其他同学在练习本上完成。

好，老师看大家都已经完成了，我们来看一看黑板上的解题过程，再结合多媒体多媒体中的过程，请大家同桌之间帮忙订正，如果有疑问的，可以小组内交流解决。同学们，轻松又愉快的一节课马上就要过去了，有哪位同学愿意来分享一下你的收获呢？嗯，你手举得最快，那你来说。

哦，他说呀，通过今天的练习课，他能更加熟练的掌握切线长定理的应用问题了，提高了他的解题速度。好，那最后一排的同学你来说。哦，他说他了解到了数形结合的重要性。嗯，大家收获都颇丰呀！

同学们，今天的作业是规范的完成课后练习题，学有余力的同学可以预习明天的课程。好，今天的课就上到这里，下课！尊敬的评委老师，我的试讲到此结束，感谢各位评委老师的耐心聆听！

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