初等函数的定义呢，是指包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数（以上是基本初等函数），以及由这些函数经过有限次四则运算或函数的复合而得的所有函数。
它们之间的区别：1初等函数的导数在定义域区间内是存在的，也是连续的，并且是可以用导数的定义证明的，但是呢，分段函数有些则大部分不是连续的，有些在同一点左导数不等于右导数，或者这一点的倒数根本不存在，这与初等函数是相悖的。
2分段函数其实就是两个函数连接在一起，定义域不同而已。
所以说分段函数不是初等函数。
所以说，初等函数不是分段函数。懂了没
最常用的有五种基本初等函数，分别是：指数函数、对数函数、幂函数、三角函数及反三角函数。
由基本初等函数与常数经过有限次的有理运算及有限次的函数复合所产生并且能用一个解析式表出的函数称为初等函数
高等数学将基本初等函数归为五类：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。
数学分析将基本初等函数归为六类：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、常数函数。
下面一一介绍这些函数。
1、幂函数
定义
一般地，形如y=xα(α为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。例如函数y=x0、y=x1、y=x2、y=x-1（注：y=x-1=1/x y=x0时x≠0）等都是幂函数。一般形式如下：
（ α为常数，且可以是自然数、有理数，也可以是任意实数或复数。）
2、指数函数定义
指数函数是数学中重要的函数。应用到值e上的这个函数写为exp(x)。还可以等价的写为ex，这里的e是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于 2718281828，还称为欧拉数。一般形式如下：
（a>0, a≠1）
3、对数函数
定义
一般地，函数y=logax（a>0，且a≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。
其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），即x>0。它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。因此指数函 数里对于a的规定，同样适用于对数函数。一般形式如下：
（a>0, a≠1， x>0,特别当α=e时，记为y=ln x）
4、三角函数
三角函数是数学中常见的一类关于角度的函数。也就是说以角度为自变量，角度对应任意两边的比值为因变量的函数叫三角函数，三角函数将直角三角形的内角和它的两个边长度的比值相关联，也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。
三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级限或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。
5、反三角函数
反三角函数是一种基本初等函数。它是反正弦arcsin x，反余弦arccos x，反正切arctan x，反余切arccot x，反正割arcsec x,反余割arccsc x这些函数的统称，各自表示其反正弦、反余弦、反正切、反余切 ,反正割，反余割为x的角。
它并不能狭义的理解为三角函数的反函数，是个多值函数。三角函数的反函数不是单值函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。欧拉提出反三角函数的概念，并且首先使用了“arc+函数名”的形式表示反三角函数。
6、常数函数
定义
在数学中，常数函数（也称常值函数）是指值不发生改变（即是常数）的函数。例如，我们有函数f(x)=4，因为f映射任意的值到4，因此f是一个常数。更一般地，对一个函数f: A→B，如果对A内所有的x和y，都有f(x)=f(y)，那么，f是一个常数函数。
请注意，每一个空函数（定义域为空集的函数）无意义地满足上述定义，因为A中没有x和y使f(x)和f(y)不同。然而有些人认为，如果包括空函数的话，那么常数函数将更容易定义。
对于多项式函数，一个非零常数函数称为一个零次多项式。下列为一般形式：
y=C (C是常数)
扩展资料
函数的特性
1、有界性
设函数f（x）在区间X上有定义，如果存在M>0，对于一切属于区间X上的x，恒有|f（x）|≤M，则称f（x）在区间X上有界，否则称f（x）在区间上无界。
2、单调性
设函数f（x）的定义域为D，区间I包含于D。如果对于区间上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）<f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递增的；如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）>f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递减的。单调递增和单调递减的函数统称为单调函数。
3、奇偶性
设
为一个实变量实值函数，若有f（-x）= - f（x），则f（x）为奇函数。几何上，一个奇函数关于原点对称，亦即其图像在绕原点做180度旋转后不会改变。奇函数的例子有x、sin（x）、sinh（x）和erf（x）。设f（x）为一实变量实值函数，若有
则f（x）为偶函数。
几何上，一个偶函数关于y轴对称，亦即其图在对y轴映射后不会改变。偶函数的例子有|x|、x2、cos（x）和cosh（x）。偶函数不可能是个双射映射。
4、周期性
设函数f（x）的定义域为D。如果存在一个正数T，使得对于任一
有
且f（x+T）=f（x）恒成立，则称f（x）为周期函数，T称为f（x）的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期。周期函数的定义域 D 为至少一边的无界区间，若D为有界的，则该函数不具周期性。并非每个周期函数都有最小正周期，例如狄利克雷函数。
周期函数有以下性质：
（1）若T（T≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。
（2）若T（T≠0）是f（x）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f（x）的周期。
（3）若T1与T2都是f（x）的周期，则
也是f（x）的周期。
（4）若f（x）有最小正周期T，那么f（x）的任何正周期T一定是T的正整数倍。
（5）T是f（x）的最小正周期，且T1、T2分别是f（x）的两个周期，则T1/T2∈Q（Q是有理数集）
（6）若T1、T2是f（x）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f（x）不存在最小正周期。
（7）周期函数f（x）的定义域M必定是双方无界的集合。
5、连续性
在数学中，连续是函数的一种属性。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。
设f是一个从实数集的子集射到 的函数：f在中的某个点c处是连续的当且仅当以下的两个条件满足：
f在点c上有定义。c是其中的一个聚点，并且无论自变量x在中以什么方式接近c，f（x） 的极限都存在且等于f（c）。我们称函数到处连续或处处连续，或者简单的连续，如果它在其定义域中的任意点处都连续。更一般地，我们说一个函数在它定义域的子集上是连续的当它在这个子集的每一点处都连续。
不用极限的概念，也可以用下面所谓的方法来定义实值函数的连续性。
仍然考虑函数。假设c是f的定义域中的元素。函数f被称为是在c点连续当且仅当以下条件成立：
对于任意的正实数，存在一个正实数δ> 0 使得对于任意定义域中的δ，只要x满足c - δ< x < c + δ，就有成立。
参考资料来源：百度百科-基本初等函数
参考资料来源：百度百科-函数
有理整函数:正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数，……
无理函数，
超越函数：指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数，分段函数等。
上述函数的有限次加、减、乘、除、乘方、开方、复合得到的函数。
可以观察此函数是否是由基本初等函数经过有限的四则运算变形而来的。因为由基本初等函数经过有限次的四则运算以及有限次的复合所生成的函数称为初等函数。
基本初等函数有：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。
举例举例说：e的x次方为初等函数，这是基本初等函数，e的x次方+x的平方，是初等函数，这是两个基本初等函数的和，e的x次方x的平方，这也是初等函数，这是两个基本初等函数的积，甚至e的（x的平方）次方也是初等函数。
函数的由来：
中文数学书上使用的“函数”一词是转译词。是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1859年）一书时，把“function”译成“函数”的。
中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思。李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数。”中国古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量。这个定义的含义是：“凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数。”
所以“函数”是指公式里含有变量的意思。我们所说的方程的确切定义是指含有未知数的等式。但是方程一词在我国早期的数学专著《九章算术》中，意思指的是包含多个未知量的联立一次方程，即所说的线性方程组。
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