整数和分数统称为有理数。整数（integer）就是像-3,-2,-1,0,1,2,3,10等这样的数。整数的全体构成整数集，整数集是一个数环。在整数系中，零和正整数统称为自然数。-1、-2、-3、…、-n、…（n为非零自然数）为负整数。则正整数、零与负整数构成整数系。整数不包括小数、分数。分数表示一个数是另一个数的几分之几，或一个事件与所有事件的比例。把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫分数。分子在上，分母在下。有理数是整数和分数的集合，整数也可看做是分母为一的分数。有理数的小数部分是有限或为无限循环的数。不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。有理数集可以用大写黑正体符号Q代表。但Q并不表示有理数，有理数集与有理数是两个不同的概念。有理数集是元素为全体有理数的集合，而有理数则为有理数集中的所有元素。扩展资料有理数名词的来源：事实上，这是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来，在英语中是rational number，而rational通常的意义是“理性的”，于是有学者将它译成了“有理数”。但是，这个词来源于古希腊，其词根为ratio，就是“比值、比率”的意思。所以这个词的原意是：可写成两个整数之比形式的数。与之相对，“无理数”就是不能表示为两个整数之比的数，而并非没有道理。那么如果知道了有理数其实是“可写成两个整数之比形式的数”的话，对有理数的概念我们将很容易理解了。分数：5/2、5/3、5/4；整数又是特殊的分数，如5=5/1、1=5/5。
有理数可分为整数和分数。整数和分数统称为有理数，任何一个有理数都可以写成分数m/n（m，n都是整数，且n≠0）的形式。任何一个有理数都可以在数轴上表示。其中包括整数和通常所说的分数，此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数。数学上，有理数是一个整数 a 和一个非零整数 b 的比,通常写作 a/b，故又称作分数。所有有理数的集合表示为Q。以下都是有理数： (1) 整数包含了：正整数、0、负整数统称为整数。 (2）分数包含了：正分数、负分数统称为分数。 （3）小数包含了:有限小数、无限循环小数。而且分数也统称小数，因为分小互化。
有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。
有理数可分为整数和分数也可分为正有理数，0，负有理数。除了无限不循环小数以外的实数统称有理数。英文：rational number读音：yǒu lǐ shù整数和分数统称为有理数，任何一个有理数都可以写成分数m/n（m，n都是整数，且n≠0）的形式。任何一个有理数都可以在数轴上表示。其中包括整数和通常所说的分数，此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数。这一定义在数的十进制和其他进位制（如二进制）下都适用。数学上，有理数是一个整数 a 和一个非零整数 b 的比(ratio)，通常写作 a/b，故又称作分数。希腊文称为 λογο，原意为“成比例的数”(rational number)，但中文翻译不恰当，逐渐变成“有道理的数”。 无限不循环小数称之为无理数（例如：圆周率π）有理数和无理数统称为实数。所有有理数的集合表示为Q。
以下都是有理数：
(1)自然数：数0，1，2，3，……叫做自然数 (2)正整数：+1，+2，+3，……叫做正整数。 (3）整数：正整数、0、负整数统称为整数。 (4）分数：正分数、负分数统称为分数。 (5）奇数：不能被2整除的整数叫做奇数。如-3，-1，1，5等。所有的奇数都可用2n-1或2n+1表示，n为整数。 (6）偶数：能被2整除的整数叫做偶数。如-2，2，4，8等。所有的偶数都可用2n表示，n为整数。 (7）质数：如果一个大于1的整数，除了1和它本身外，没有其他因数，这个数就称为质数，又称素数，如2，3，11，13等。2是最小的质数。 (8）合数：如果一个大于1的整数，除了1和它本身外，还有其他因数，这个数就称为合数，如4，6，9，15等。4是最小的合数。一个合数至少有3个因数。 如3，-9811，572727272……，7/22都是有理数。全体有理数构成一个集合，即有理数集，用粗体字母Q表示，较现代的一些数学书则用空心字母Q表示。有理数集是实数集的子集，即QR。相关的内容见数系的扩张。有理数集是一个域，即在其中可进行四则运算（0作除数除外），而且对于这些运算，以下的运算律成立（a、b、c等都表示任意的有理数）：①加法的交换律 a+b=b+a；②加法的结合律 a+(b+c)=(a+b)+c；③存在数0，使 0+a=a+0=a；④乘法的交换律 ab=ba；⑤乘法的结合律 a(bc)=(ab)c；⑥乘法的分配律 a(b+c)=ab+ac。0a=0 文字解释：一个数乘0还等于0。此外，有理数是一个序域，即在其上存在一个次序关系≤。0的绝对值还是0有理数还是一个阿基米德域，即对有理数a和b，a≥0，b>0，必可找到一个自然数n，使nb>a。由此不难推知，不存在最大的有理数。值得一提的是有理数的名称。“有理数”这一名称不免叫人费解，有理数并不比别的数更“有道理”。事实上，这似乎是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来，在英语中是（rational number），而（rational）通常的意义是“理性的”。中国在近代翻译西方科学著作，依据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了“有理数”。但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为（ratio），就是比率的意思（这里的词根是英语中的，希腊语意义与之相同）。所以这个词的意义也很显豁，就是整数的“比”。与之相对，而“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理（无理数就是无限不循环小数，π也是其中一个无理数）。
可以不经过计算得出来的数可以叫实数
如0
123456789101001000
01,002314(1/10)(4/3)
还有0的正数3的平方3的立方
n的A次幂圆周率．引力常数．
可以说清［来龙去摸］的数可以就叫做有理数．
举例说明（一个反例就OK了！）根号2．
数学上，实数直观地定义为和数线上的点一一对应的数本来实数只唤作数，後来引入了虚数概念，原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”
实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正数，负数和03类实数集合通常用字母R或表示而Rn表示n
维实数空间实数是不可数的实数是实分析的核心研究对象
实数可以用来测量连续的量理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后
n位，n为正整数）在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示
实数定义的基本方式
lyman发表于2006-7-1117:47:35
研究实数的基本理论，是极为重要的它是分析数学的根基如果直接承认实数连续统（参见有名的对于实数集R的切割命题），是不能令人满意的，因为它不是更基本的基本的应该从自然数和有理数出发来构造“实数”
实数的定义，或者说实数的构造，有两种经典的方式一种是戴德金的，一种是康托尔的我们将会6续讨论
戴德金定义实数的基本思想是对有理数集合进行划分或切割一种方式是使用有理区间套定义实数这是一种通俗的方式，但我后来注意到它不是足够的严格它把有理数集合Q划分成3类（不妨按顺序用集合A，C，B表示）然后它说C集合中包含唯一的有理数，或者为空在C为空的情况下，它断定这就代表唯一的无理数另一种方式具有差不多相同的思想，它对有理数集合Q进行“切割”，即把Q划分成两个非空集合A和B，其中A中的任一元素小于B中的任一元素那么立即呈现4种可能:
1)A中有最大元素，B中有最小元素
2)A中有最大元素，B中无最小元素
3)A中无最大元素，B中有最小元素
4)A中无最大元素，B中无最小元素
但是第一种情况是不可能的因为可以取A中最大和B中最小的平均值，位于2者之间，那么此值属于A还是B呢？矛盾第2，第3种情况都是容易看出是可能的至于第4种情况，也被证明是可能的将来我们会证明这一点并且看到，这就是无理分割点
康托尔的实数定义建立在有理数基本序列基础上它面对和要解决这样的问题:对于一个自身具有“凝聚”趋势的有理数序列，它是否收敛到一个数？结果发现某些有理数基本序列，在有理数范围内并不存在它要收敛到的那个数这个事实揭示了有理数域的局限性:对于极限运算不封闭柯西曾猜想这样的序列收敛到无理数但他没有解决极限的存在和无理数定义的逻辑循环的矛盾
"有理数"在工具书中的解释
1、任何可以写成形如m/n的数,其中m与n都是整数,且n不为0正整数、负整数、正分数,负分数及0,统称为有理数见无理数
2、有理整数环Z的分式体叫做有理数体,记为Q(Q是quotient的头一个字母)
3、整数和分数统称有理数任何一个有理数都可以表示成分数m/n的形式,其中m、n(n≠0)是整数;对于一个不等于0的有理数,当m与n互质时,则这种表示形式是唯一的全部有理数组成的集合叫做有理数集,通常记为Q有理数集也称为有理数域
"有理数"在学术文献中的解释
1、是一个无理数在代数里我们知道,整数和分数总称为有理数,即任何有理数都可以用两个整数p、q（p40）的商恫来表示,而且如果把有理数写成小数的形式,则是有限小数或无限循环小数
2、7÷3可能表示7个苹果3个小朋友分由减法产生负整数,并进而产生了数0事实上,负数与0是很晚才被人们真正认识的由除法(即分)产生分数nm(m∈Z,n∈N),并把分数(含整数)称为有理数
3、整数和分数统称为有理数,因此这一回答实际上是用结论的另一表述（分数化为小数时,或为有限小算,或有无限循小数）来代替结论的论证
有理数（rational number)：能精确地表示为两个整数之比的数。包括整数和通常所说的分数，此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数。这一定义在数的十进制和其他进位制（如二进制）下都适用。
如3，-9811，572727272……，7/22都是有理数。
有理数还可以划分为正有理数、负有理数和0。
全体有理数构成一个集合，即有理数集，用粗体字母Q表示，较现代的一些数学书则用空心字母Q表示。
有理数集是实数集的子集。相关的内容见数系的扩张。
有理数集是一个域，即在其中可进行四则运算（0作除数除外），而且对于这些运算，以下的运算律成立（a、b、c等都表示任意的有理数）：
①加法的交换律 a+b=b+a；
②加法的结合律 a+(b+c)=(a+b)+c；
③存在数0，使 0+a=a+0=a；
④对任意有理数a，存在一个加法逆元，记作-a，使a+(-a)=(-a)+a=0；
⑤乘法的交换律 ab=ba；
⑥乘法的结合律 a(bc)=(ab)c；
⑦分配律 a(b+c)=ab+ac；
⑧存在乘法的单位元1≠0，使得对任意有理数a，1a=a1=a；
⑨对于不为0的有理数a，存在乘法逆元1/a，使a(1/a)=(1/a)a=1。
此外，有理数是一个序域，即在其上存在一个次序关系≤。
有理数还是一个阿基米德域，即对有理数a和b，a≥0，b>0，必可找到一个自然数n，使nb>a。由此不难推知，不存在最大的有理数。
值得一提的是有理数的名称。“有理数”这一名称不免叫人费解，有理数并不比别的数更“有道理”。事实上，这似乎是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来，在英语中是rational number，而rational通常的意义是“理性的”。中国在近代翻译西方科学著作，依据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了“有理数”。但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为ratio，就是比率的意思（这里的词根是英语中的，希腊语意义与之相同）。所以这个词的意义也很显豁，就是整数的“比”。与之相对，“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理。
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