对应的特征方程是r^4+2r^3+3r^2=0
解得r1,2=0，r3,4=-1±√2i
所以通解为y=c1+c2x+e^(-x)(c3cos√2x+c4sin√2x)
y''+3y=0的通解
y''+3y=0
特征根方程
r^2+3=0
r=±√3i
所以
y=C1cos(√3x)+C2sin(√3x)
C1,C2为任意常数
求法
求微分方程通解的方法有很多种，如：特征线法，分离变量法及特殊函数法等等。而对于非齐次方程而言，任一个非齐次方程的特解加上一个齐次方程的通解，就可以得到非齐次方程的通解。
对于一个微分方程而言，其解往往不止一个，而是有一组，可以表示这一组中所有解或者部分解的统一形式，称为通解（general solution）。对一个微分方程而言，它的解会包括一些常数，对于n阶微分方程，它的含有n个独立常数的解称为该方程的通解。
分析
可降阶的高阶微分方程
方程类型如果是不显含y的二阶方程 y'' = f(x，y')
令y' = p，则y'' = p'，原方程 → p'=f(x，p)—— 一阶方程，设其解为 p = g(x，C1），
即y' = g(x，C1），则原方程的通解 为 y = ∫g(x，C1）dx+C2
一阶贝努利方程 y' + F(x)y = G(x)y^n ，其中n≠0，1 令z=y^(1-n)，
则方程 → dz/dx + (1-n)F(x)z = (1-n)G(x) ，属于一阶线性方程。
一阶线性方程 y' + F(x)y = G(x) ，用常数变易法求
1、求对应齐次线性方程y' + F(x)y = 0 的通解 y=Ce^(-∫F(x)dx)
2、令原方程的解为 y=C(x)e^(-∫F(x)dx)
3、带入原方程整理得 C(x) = ∫G(x)e^(∫F(x)dx) dx + C
4、原方程通解 y = [∫G(x)e^(∫F(x)dx) dx + C]e^(-∫F(x)dx)
解答
令y' = p，则y'' = p'，p' - p = p^3 是一阶贝努利方程 ，令z = p^-2
得 dz/dx + 2z = -2，是一阶线性方程
解得 z = [∫G(x)e^(∫F(x)dx) dx + C]e^(-∫F(x)dx) G(x)= -2 F(x)=2
z = Ce^(-2x) - 1
即，p^2 = 1/[Ce^(-2x) - 1]
p = √1/[Ce^(-2x) - 1]
即 y'=√1/[Ce^(-2x) - 1] 套公式即可。
y = arcsinC1e^x + C2
newmanhero 2015年2月4日21:49:36
希望对你有所帮助，望采纳。
求齐次线性方程组的基础解系及通解一般方法:
第1步: 用初等行变换将系数矩阵化为行简化梯矩阵(行最简形), 由此确定自由未知量:
非零行的首非零元所在列对应的未知量为约束未知量, 其余未知量为自由未知量
第2步: 根据行简化梯矩阵写出同解方程组, 并将自由未知量移至等式的右边
(此步可省）
第3步: 自由未知量分别取(1,0,…,0),(0,1,…,0),(0,0,…,1), 代入上述方程得出基础解系
第4步: 写出方程组的通解。
扩展资料：
定理
齐次线性方程组
有非零解的充要条件是r(A)<n。即系数矩阵A的秩小于未知量的个数。
推论
齐次线性方程组
仅有零解的充要条件是r(A)=n。
性质：
1齐次线性方程组的两个解的和仍是齐次线性方程组的一组解。
2齐次线性方程组的解的k倍仍然是齐次线性方程组的解。
3齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)=n，方程组有唯一零解。
齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)<n,方程组有无数多解。
4 n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式为零。等价地，方程组有唯一的零解的充要条件是系数矩阵不为零。（克莱姆法则）
解
求特征方程r^2+p（x）r+q（x）=0
解出两个特征根r1，r2
若r1≠r2且r1，r2为实数，则y=c1e^（r1x）+c2e^（r2x）
若r1=r2且r1，r2为实数，则y=（c1+xc2）e^（r1x)
若r1，r2即a±bi为复数，
则y=e^（ax）（c1cosbx+c2sinbx）
一阶线性齐次微分方程的两个特解，求通解的方法：其导数项为多项式形式，系数为常数，其解空间是线性空间，线性空间的特点是满足可加性和齐次性，就是叠加原理。
因此y1=e^(2x)，y2=2e^(-x)-3e^(2x)的任何线性组合a1y1+a2y2都是原方程的解，其中a1,a2是常数。
注意事项：
2021年10月8日，为防止未成年人沉迷网络游戏，维护未成年人合法权益，文化和旅游部印发通知，部署各地文化市场综合执法机构进一步加强网络游戏市场执法监管。据悉，文化和旅游部要求各地文化市场综合执法机构会同行业管理部门。
重点针对时段时长限制、实名注册和登录等防止未成年人沉迷网络游戏管理措施落实情况，加大辖区内网络游戏企业的执法检查频次和力度；加强网络巡查，严查擅自上网出版的网络游戏；加强互联网上网服务营业场所、游艺娱乐场所等相关文化市场领域执法监管，防止未成年人违规进入营业场所。
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