实数是有理数和无理数的总称,通常用黑正体字母R表示。其中无理数就是无限不循环小数,有理数就包括整数和分数。
数学上,实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。
本来实数仅称作数,后来引入了虚数概念,原本的数称作实数意义是实在的数。
所有实数的集合则可称为实数系或实数连续统。任何一个完备的阿基米德有序域均可称为实数系。在保序同构意义下它是惟一的,常用R表示。由于R是定义了算数运算的运算系统,故有实数系这个名称。
实数可以用来测量连续的量。理论上,任何实数都可以用无限小数的方式表示,小数点的右边是一个无穷的数列(可以是循环的,也可以是非循环的)。在实际运用中,实数经常被近似成一个有限小数(保留小数点后 n 位,n为正整数)。在计算机领域,由于计算机只能存储有限的小数位数,实数经常用浮点数来表示。
实数的运算定理
1、加法:
(1)同号两数相加,取原来的符号,并把它们的绝对值相加
(2)异号两数相加,取绝对值大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。可使用加法交换律、结合律。
2、减法:减去一个数等于加上这个数的相反数。
3、乘法:
(1)两数相乘,同号取正,异号取负,并把绝对值相乘。
(2)n个实数相乘,有一个因数为0,积就为0若n个非0的实数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数有偶数个时,积为正当负因数为奇数个时,积为负。
(3)乘法可使用乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。
4、除法:
(1)两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。
(2)除以一个数等于乘以这个数的倒数。
(3)0除以任何数都等于0,0不能做被除数。
5、乘方与开方:乘方与开方互为逆运算。
6、实数的运算顺序:乘方、开方为三级运算,乘、除为二级运算,加、减是一级运算,如果没有括号,在同一级运算中要从左到右依次运算,不同级的运算,先算高级的运算再算低级的运算,有括号的先算括号里的运算。无论何种运算,都要注意先定符号后运算。
实数中的几个概念:
1、相反数:只有符号不同的两个数叫做互为相反数。(1)实数a的相反数是-a;(2)a和b互为相反数a+b=0。
2、倒数:(1)实数a(a≠0)的倒数是1/a;(2)a和b 互为倒数;(3)注意0没有倒数。
3、绝对值:
(1)一个数a 的绝对值有以下三种情况:
(2)实数的绝对值是一个非负数,从数轴上看,一个实数的绝对值,就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
(3)去掉绝对值符号(化简)必须要对绝对值符号里面的实数进行数性(正、负)确认,再去掉绝对值符号。
4、n次方根
(1)平方根,算术平方根:设a≥0,称叫a的平方根,叫a的算术平方根。
(2)正数的平方根有两个,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根。
(3)立方根:叫实数a的立方根。
(4)一个正数有一个正的立方根;0的立方根是0;一个负数有一个负的立方根。
01实数是有理数和无理数的总称。数学上,实数定义为与数轴上的实数,点相对应的数,实数可以直观地看作有限小数与无限小数,实数和数轴上的点一一对应,但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。
实数可以分为有理数和无理数两类,或代数数和超越数两类。实数集通常用黑正体字母 R 表示。R表示n维实数空间。实数是不可数的。实数是实数理论的核心研究对象。
所有实数的集合则可称为实数系(real number system)或实数连续统。任何一个完备的阿基米德有序域均可称为实数系。在保序同构意义下它是惟一的,常用R表示。由于R是定义了算数运算的运算系统,故有实数系这个名称。
实数可以用来测量连续的量。理论上,任何实数都可以用无限小数的方式表示,小数点的右边是一个无穷的数列(可以是循环的,也可以是非循环的)。在实际运用中,实数经常被近似成一个有限小数(保留小数点后 n 位,n为正整数)。在计算机领域,由于计算机只能存储有限的小数位数,实数经常用浮点数来表示。
什么是实数(实数的分类)实数分为两大类最先知道的是有理数,有理数是可以用整数表达的数,包括整数和分数,用小数表示就是无尽循环小数,因为整数后面也可以看做有无限个零循环,所以有理数是无尽循环小数。
最开始古希腊的毕达哥拉斯提出万物皆数概念,认为一切数都可以用整数表示,但是勾股定理提出来后,希帕索斯发现以1为边的等边直角三角形的对边无法用整数表示,人类首次认识到无理数存在,实数系统就大大扩充了。
我们后来知道,无理数不仅存在,而且在数轴上无理数还要远远多于有理数。而且一些重要的数学常数有很多是无理数,比如圆周率π,自然常数e,无理数可以表示为无限不循环小数的形式。
总结起来,实数可以用一句话表达,那就是实数就是无尽小数,循环的是有理数,不循环的是无理数。