高数凹凸区间

f'(x)=-2xe^(-x^2), f"=(-2+4x^2)e^(-x^2)=2(2x^2-1)e^(-x^2)

当f"<0时，2x^2-1<0，解得-根号2/2<x<根号2/2，这就是曲线的凸区间了。

凹凸区间端点不取。

单调区间要不要去端点你要看函数在端点处是不是有意义，如果有意义取不取都可以，要是没有意义就不能取。

如果区间的一端是闭的，由于无法在端点处定义导数的概念，因此用左/右导数来代替导数。因此说一个函数在一个闭区间内可导即意味着在相应的开区间内每一点都可导，且在端点处有左/右导数。

性质

定义在某个开区间C内的凸函数f在C内连续，且在除可数个点之外的所有点可微。如果C是闭区间，那么f有可能在C的端点不连续。

一元可微函数在某个区间上是凸的，当且仅当它的导数在该区间上单调不减。一元连续可微函数在区间上是凸的，当且仅当函数位于所有它的切线的上方：对于区间内的所有x和y，都有f(y) > f(x) + f '(x) (y − x）。特别地，如果f '(c) = 0，那么c是f(x）的最小值。

如何求函数的单调区间和极值，凹凸区间和拐点？可以按下列三步骤分析：

第一步，求函数的一阶导数，判断函数的单调性，如在（a,b）内的任意一点，有f'(x)>0，则单调上升；如在（a,b）内的任意一点，有f'(x)<0，则单调上降

第二步，当f'(x)=0有解，则该解为函数的极值点，最大值点（-1，3），最小值点（3，-61）

第三步，求函数的二阶导数，判断函数的凹凸性，，如在（a,b）内的任意一点，有f"(x)>0，则f(x)在a,b内是凹的；如在（a,b）内的任意一点，有f"(x)<0，则f(x)在a,b内是凸的。

拐点（1，29）

求解过程如下：

是的，区间的端点正好是拐点（即曲线的凹凸分界点，二阶导数值=0且左右二阶导数值异号的点或二阶导数值不存在但左右二阶导数值异号的点），应该是开区间（拐点甚至可以不是定义域内的点:分段函数f(x)=-x_,x0,x=0不在函数的定义域内，但为函数的拐点），否则应该是闭区间。

：

一、区间（数学概念）

1、在数学里，区间通常是指这样的一类实数集合：如果x和y是两个在集合里的数，那么，任何x和y之间的数也属于该集合。例如，由符合0 ≤ x ≤ 1的实数所构成的集合，便是一个区间，它包含了0、1，还有0和1之间的全体实数。其他例子包括：实数集，负实数组成的集合等。

2、区间在积分理论中起着重要作用，因为它们作为最"简单"的实数集合，可以轻易地给它们定义"长度"、或者说"测度"。然后，"测度"的概念可以拓，引申出博雷尔测度，以及勒贝格测度。

3、区间也是区间算术的核心概念。区间算术是一种数值分析方法，用于计算舍去误差。

4、区间的概念还可以推广到任何全序集T的子集S，使得若x和y均属于S，且x二、记号

1、通用的区间记号中，圆括号表示“排除”，方括号表示“包括”。例如，区间(10, 20)表示所有在10和20之间的实数，但不包括10或20。另一方面，[10, 20]表示所有在10和20之间的实数，以及10和20。而当我们任意指一个区间时，一般以大写字母 I 记之。

2、有的国家是用逗号来代表小数点，为免产生混淆，分隔两数的逗号要用分号来代替。 [1-2] 例如[1, 23]就要写成[1; 2,3]。否则，若只把小数点写成逗号，之前的例子就会变成 [1,2,3] 了。这时就不能知道究竟是 12 与 3 之间，还是 1 与 23 之间的区间了。

判断方法：

在函数f(x)的图象上取任意两点，如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方，那么这个函数就是凹函数。 

同理可知，如果函数图像在这两点之间的部分总在连接这两点线段的上方，那么这个函数就是凸函数。

几何定义：

1、f(λx1+(1-λ)x2)=λf(x1)+(1-λ)f(x2)，即A型，为“凹向原点”，或“上凸”（下凹），（同样有的简称凹有的简称凸）

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