问张宇视屏里说可导函数不一定连续还有可能是震荡间断点

如果一个函数可导，那么它必须满足导数介值定理，震荡间断点来说，就是这个函数的导数能取两个值，那么就可以取到这两个值之间的任意值。故一个函数的导数，要么连续，要么就得有震荡间断点。张宇老师里说的可导函数指的是函数求导后得到的函数不一定连续，还可能有震荡间断点。而“可导必连续，连续不一定可导”指的是原函数，不是求导后的函数。

有

垂直渐近线是包含无穷振荡间断点的。于是，函数y=sin（1/x）/x 有垂直渐近线x=0

左右极限振荡不存在的间断点，叫做振荡间断点，其中振荡是不可以解出的答案，极限完全不存在。振荡间断点举例说明 函数 在点x=0处没有定义，且当x趋于0时，函数值在-1,1这两个数之间交替振荡取值，极限不存在。

1、定义不同

振荡间断点：振荡间断点，间断点处的极限振荡不存在的间断点，属于第二类间断点。

无穷间断点：当x趋向于x0时，f（x）趋向于无穷大，故x=x0为无穷间断点。

2、写法不同

振荡间断点示例：函数

在点x=0处没有定义，且当x趋于0时，函数值在-1,1这两个数之间交替振荡取值，极限不存在。

无穷间断点示例：

当

x趋向于x0时，

趋向于无穷大（无论是x趋向于x0+,还是趋向于x0-，至少有一个都可以），那么

x=x0就是

的无穷间断点！

3、答案不同

左右极限为无穷的间断点，叫做无穷间断点，其中无穷是个可以解出的答案，但一般视为极限不存在。

左右极限振荡不存在的间断点，叫做振荡间断点，其中振荡是不可以解出的答案，极限完全不存在。

参考资料：

搜狗百科-振荡间断点

参考资料：

搜狗百科-无穷间断点

y=xsin(1/x) 在 x=0 处左右极限=0，可去间断点；

y=sgn(x) 在 x=0 处左极限=-1，右极限=1，跳跃间断点；

y=1/x 在 x=0 处趋于无穷，无穷间断点；

y=sin(1/x) 在 x=0 处振荡无极限，振荡间断点。

cos 1/x 有振荡间断点，和sin一样应该就是x趋于0时，因为此时k=1/x无穷大，用单位圆法想像下。

如果说把一个点附近的函数值上下极限不同的点定义为震荡间断，个人感觉并不合理，因为Dirichlet函数每个点附近都上下极限不同，但从没听说过这样的间断也是震荡间断。

振荡间断点注意：

在极限过程x→x0中，函数总是在大小两个实数之外取值（即总可取到大于大值之值和小于小值之值）。实际上，简单的判断，可如下进行，凡是非无穷的二类间断点就一定是震荡间断点。（再告诉你一个多余的事情，就是有的无穷间断点，也可以做到刚才说的事情）。

第二类间断点的特征是左右极限至少有一个不存在（相应地,第一类间断点要求左右极限都存在）,震荡型间断点处左右极限既不是无穷大也不存在,因此属第二类,例如y=sin(1/x),在x趋于0时y无限次重复取遍[-11]内的所有值,不趋于某一特定值,但也不趋于无穷大,所有x=0是震荡间断点

可去间断点；

不可去间断点（包括跳跃间断点、趋于无穷大、震荡间断点）。

也可以分为三类：

1左右极限存在但不相等（跳跃间断点）；

2左右极限存在至少有一个不存在（或趋于∞）；

3左右极限存在且相等，但不等于该点的函数值（可去间断点）。

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