线性代数(三)向量组

n维向量：n个数构成的一个有序数组称为一个n维向量，记为 ,并称α为n维行向量, 称为n维列向量。

设 是n维向量， 是一组实数，则称

是 的线性组合

设向量 能表示成向量组 的线性组合，即存在 ，使得

则称向量 能被向量组 线性表出

对n维向量 ，如果存在不全为零的数使得

则称向量组 线性相关，否则，则称向量组 线性无关

含有零向量或者有成比例的向量的向量组必定线性相关

向量组 线性相关的充要条件是向量组中至少有一个向量可以由其余的n-1个向量线性表出

若向量组 线性无关，而向量组 线性相关，则 能被向量组 线性表出

如果向量组 可以由向量组 线性表示，且t>s则 线性相关

设m个n维向量 ，其中

则向量组 线性相关的是齐次线性方程组

有非零解，其中

量 能被向量组 线性表出

非齐次线性方程组 有解

如果向量组 中有一部分向量线性相关，则整个向量组也线性相关

如果一组 维向量 线性无关,那么把这些向量各任意添加 个分量所得到的新向量 ( 维)组 也是线性无关的;如果 线性相关,那么它们各去掉相同的若干个分量所得到的新向埋组也是线性相关的

在向量组 中，若存在r个向量 满足

则称 是向量组 的一个极大线性无关组

设有两个向量组（Ⅰ） ；（Ⅱ）

如果（Ⅰ）中的每个向量都可由（Ⅱ）中的向量线性表出，则称向量组（Ⅰ）可以由向量组（Ⅱ）线性表出。如果（Ⅰ）（Ⅱ）这两个向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组等价，记作

向量组 的极大线性无关组 中所含的向量的个数r称为这个向量组的秩，记作

等价向量组等秩,反之未必成立

设向量组 及 若 均可由 线性表出,则

若 是 维向量空间 中的线性无关的有序向量组,则任一向量 均可由 ,线性表出，记表出式为

称有序向量组 是 的一个基,基向量的个数 称为向量空间的维数,而 ( ) 称为向量 在基 下的坐标,或称为 的坐标行(列)向量

则上式称为矩阵由基 到基 的基变换公式，矩阵C称为由基 到基 的过渡矩阵。C的第i列即是 在基 下的坐标列向量，且过渡矩阵C是可逆矩阵

又基 到基 的过渡矩阵为 ,即

则

得

上式称为左边变换公式

矩阵就是由mn个数排列成m行n列的数表

向量是由n个实数组成的有序数组,是一个n1的矩阵(n维列向量)或是一个1n的矩阵(n维行向量)

向量组就是有限个相同维数的行向量或者列向量组成的一组矩阵

简单的说,一个向量是一个矩阵,一个向量组是n个矩阵,一个n1或1n的矩阵可以称为是一个向量,一个mn的矩阵不是向量也不是向量组

把它们列成矩阵，通过交换行列使第一行第一列的元素不为0，然后消掉第一列所有不为0的数，再通过变换使第二行第二列的元素不为0，（不可以交换第一行第一列），再如之前所述，反复进行，直至最后一行，然后有几个不为0的行，秩就为几。

等价向量组具有传递性、对称性及反身性。但向量个数可以不一样，线性相关性也可以不一样。任一向量组和它的极大无关组等价。向量组的任意两个极大无关组等价。

扩展资料：

一个m行n列的矩阵可以看做是m个行向量构成的行向量组，也可看做n个列向量构成的列向量组。行向量组的秩成为行秩，列向量组的秩成为列秩，容易证明行秩等于列秩，所以就可成为矩阵的秩。

两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同。等价的向量组具有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价。如果向量组A可由向量组B线性表示，且R（A）=R（B），则A与B等价。

向量组的秩为线性代数的基本概念，它表示的是一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数。由向量组的秩可以引出矩阵的秩的定义。

定义

极大无关组

要定义向量组的秩，首先要定义极大线性无关向量组。

向量组T中如果有一部分组α1，α2，···，αr满足:

α1，α2，···，αr线性无关;

任取向量组T中β，有α1，α2，···，αr，β线性相关。

则称α1，α2，···，αr为向量组T的一个极大线性无关向量组，简称为极大无关组。

向量组的秩

一个向量组的极大线性无关组所包含的向量的个数，称为向量组的秩;若向量组的向量都是0向量，则规定其秩为0向量组α1，α2，···，αs的秩记为R{α1，α2，···，αs}或rank{α1，α2，···，αs}。

应用

定理

根据向量组的秩可以推出一些线性代数中比较有用的定理

向量组α1，α2，···，αs线性无关等价于R{α1，α2，···，αs}=s。

若向量组α1，α2，···，αs可被向量组β1，β2，···，βt线性表出，则R{α1，α2，···，αs}小于等于R{β1，β2，···，βt}。

等价的向量组具有相等的秩。

若向量组α1，α2，···，αs线性无关，且可被向量组β1，β2，···，βt线性表出，则s小于等于t。

向量组α1，α2，···，αs可被向量组β1，β2，···，βt线性表出，且s>t，则α1，α2，···，αs线性相关。

任意n+1个n维向量线性相关。

矩阵的秩

有向量组的秩的概念可以引出矩阵的秩的概念。一个m行n列的矩阵可以看做是m个行向量构成的行向量组，也可看做n个列向量构成的列向量组。行向量组的秩成为行秩，列向量组的秩成为列秩，容易证明行秩等于列秩，所以就可成为矩阵的秩。矩阵的秩在线性代数中有着很大的应用，可以用于判断逆矩阵和线性方程组解的计算等方面。

通俗的说，就是把这一组向量中的垃圾向量踢出后剩下的高品质向量的个数，假设这一组有5个向量，踢出两个垃圾，还剩3个。

那么这个向量组的秩就是3。那什么是垃圾向量呢？就是能被别人线性表示的向量。比如说向量α1能被α2和α3线性表示，也就是它的工作能被别人取代。那么α1就是垃圾向量！

秩是线性代数中最重要的概念，是广大考生一定要掌握的概念。在线性代数中，关于秩有两大类：矩阵的秩以及向量组的秩，这两个概念之间是有区别和联系的。首先，我们来看一下它们各自的概念。

矩阵的秩：矩阵A最高阶非零子式的阶数称之为矩阵A的秩，记为r（A），其中r（A）不超过矩阵行数和列数的最小值。

矩阵的秩可以化为向量组的秩来计算，向量组的秩也可以化为矩阵的秩来计算。在计算矩阵的秩时，理论上需要计算非零子式来确定，但是有的时候计算量大、计算麻烦，故可以利用初等行变换把矩阵化为阶梯型矩阵，最后非零行的个数就是矩阵的秩。

扩展资料：

根据向量组的秩可以推出一些线性代数中比较有用的定理

1 向量组α1，α2，···，αs线性无关等价于R{α1，α2，···，αs}=s。

2 若向量组α1，α2，···，αs可被向量组β1，β2，···，βt线性表出，则R{α1，α2，···，αs}小于等于R{β1，β2，···，βt}。

3 等价的向量组具有相等的秩。

4 若向量组α1，α2，···，αs线性无关，且可被向量组β1，β2，···，βt线性表出，则s小于等于t。

5 向量组α1，α2，···，αs可被向量组β1，β2，···，βt线性表出，且s>t，则α1，α2，···，αs线性相关。

6 任意n+1个n维向量线性相关。

矩阵的秩

有向量组的秩的概念可以引出矩阵的秩的概念。一个m行n列的矩阵可以看做是m个行向量构成的行向量组，也可看做n个列向量构成的列向量组。

行向量组的秩成为行秩，列向量组的秩成为列秩，容易证明行秩等于列秩，所以就可成为矩阵的秩。矩阵的秩在线性代数中有着很大的应用，可以用于判断逆矩阵和线性方程组解的计算等方面。

参考资料：

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