三角形的内心、外心、重心、垂心还有旁心的性质是什么

一、外心

三角形外接圆的圆心，简称外心与外心关系密切的有圆周角定理

圆周角定理:

同弧所对圆周角是圆心角的一半

证明略(分类思想,3种,半径相等)

圆周角推论1:

半圆(弧)和半径所对圆周角是90‵

90‵圆周角所对弦是直径

(常用辅助线:已知直径,作其所对圆周角;已知90‵圆周角,作其所对弦,即直径)

圆周角推论2:

同(等)弧所对圆周角相等

同(等)圆中,相等的圆周角所对弧相等

二、重心

三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心掌握重心将每

条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题

中线长度公式:在三角形ABC中，D为BC上的中点，设BD=DC=n,AD=m,AB=a

AC=b,则有

2（m2+n2)=a2+b2

三、垂心

三角形的三条高线交于一点三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角的顶点；钝角

三角形的垂心在三角形外。

四、内心

和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形

例：⊙O是△ABC的内切圆，△ABC是⊙O的一个外切三角形，点O叫做△ABC的内心

张角公式:,设点C在线段AB上,AB外一点P对线段AC、BC的张角分别为γ、β,则sin(γ+β)/PC=sinγ/PB+sinβ/PA

三角形内角平分线性质定理:三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。

五、旁心

与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形的旁心

例：图中⊙O1、⊙O2、⊙O3都是△ABC的旁切圆，点O1、O2、O3叫做△ABC的旁心

三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，这个交点到三角形一边及其他两边延长线的距离相等，就是三角形的旁心

三角形有三个旁切圆，三个旁心

重心定理

三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．

上述交点叫做三角形的重心

外心定理

三角形的三边的垂直平分线交于一点．

这点叫做三角形的外心

垂心定理

三角形的三条高交于一点．

这点叫做三角形的垂心

内心定理

三角形的三内角平分线交于一点．

这点叫做三角形的内心

旁心定理

三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点．

这点叫做三角形的旁心．三角形有三个旁心．

三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心．它们都是三角形的重要相关点．

定义

三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心．编辑本段三角形外心的性质

设⊿abc的外接圆为☉g(r)，角a、b、c的对边分别为a、b、c，p=(a

b

c)/2．

1、三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心

2、锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合

3、ga=gb=gc=r

3、∠bgc=2∠a，或∠bgc=2(180°-∠a)

4、r=abc/4s⊿abc

5、点g是平面abc上一点，那么点g是⊿abc外心的充要条件是：

(向量ga

向量gb)·向量ab=

(向量gb

向量gc)·向量bc=(向量gc

向量ga)·向量ca=向量0

6、点g是平面abc上一点，点p是平面abc上任意一点，那么点g是⊿abc外心的充要条件是：

向量pg=((tanb

tanc)向量pa

(tanc

tana)向量pb

(tana

tanb)向量pc)/2(tana

tanb

tanc)

7、点g是平面abc上一点，点p是平面abc上任意一点，那么点g是⊿abc外心的充要条件是：

向量pg=(cosa/2sinbsinc)向量pa

(cosb/2sincsina)向量pb

(cosc/2sinasinb)向量pc

8、设d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1

c2

c3。

重心坐标：(

(c2

c3)/2c，(c1

c3)/2c，(c1

c2)/2c

)。

9、外心到三顶点的距离相等。

10、2r=a/sina=b/sinb=c/sinc。

一、三角形的外心，定义：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心)

。

性质：三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心。

二、三角形的内心，定义：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)。

性质：三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心。

三、三角形的垂心，定义：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。

性质：锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。

四、三角形的重心，定义：三角形的重心是三角形三条中线的交点。

性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。

等腰三角形；等腰三角形（isosceles

triangle），指两边相等的三角形，相等的两个边称为这个三角形的腰。等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。

等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。等腰三角形是轴对称图形。

外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。

外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。

注意到外心到三角形的三个顶点距离相等，结合垂直平分线定义，外心定理其实极好证。

计算外心的重心坐标是一件麻烦的事。先计算下列临时变量：

d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。

c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。

内心是三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。

内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（原理：角平分线上点到角两边距离相等）。

内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。

注意到内心到三边距离相等（为内切圆半径），内心定理其实极易证。

若三边分别为l1，l2，l3，周长为p，则内心的重心坐标(l1/p,l2/p,l3/p)。

直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。

双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。

重心是三角形三边中线的交点，三线交一可用燕尾定理证明，十分简单。证明过程又是塞瓦定理的特例。

重心的几条性质：

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（z1+z2+z3）/3

三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。

锐角三角形垂心在三角形内部。

直角三角形垂心在三角形直角顶点。

钝角三角形垂心在三角形外部。

垂心是高线的交点

垂心是从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线的交点。

三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

三角形上作三高，三高必于垂心交。

高线分割三角形，出现直角三对整，

直角三角有十二，构成六对相似形，

四点共圆图中有，细心分析可找清，

证明如第二张图，虽然“角”的符号成了乱码，但大家应该能看懂。CF为要证的高；两个角（DOC与BAD）相等后利用相似证，此部分从略。直角三角形的情况，直角顶点显然是垂心；钝角——大家没发现三角形OBC垂心就是A吗？

垂心的重心坐标反而比外心简单一点。先计算下列临时变量（与外心一样）：

d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘（句子很长^_^）。

c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

重心坐标：( c1/c，c2/c，c3/c )。

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