函数求导公式及方法

(sinx)'=cosx

(cosx)'=-sinx

(tgx)'=(secx)^2

(ctgx)'=-(cscx)^2

(arctgx)'=1／1+x^2

(arcctgx)'=-1／1+x^2

(arcsinx)'=1／√1-x^2

（arccosx)'=-1／√1-x^2

罗尔定理：若函数f（x)满足：1，在闭区间[a,b]连续

2，在开区间（a,b)可导

3，f（a）=f（b）

则存在ξ∈（a,b），使f'(ξ)=0

推论：若函数f（x)满足：1，在闭区间[a,b]连续

2，在开区间（a,b)可导

则至少存在一个ξ∈（a,b），使f'(ξ)=f(b)-f(a)／b-a

洛必达法则：若函数f(x)与g(x)满足：

1，lim(x->x0）（fx）=lim(x->x0）（gx）

2,在点x0的某领域内（点x0除外）可导且g'(x)≠0

3,lim(x->x0)((f'（x）／g'（x）)=A(∞)

A则lim(x->x0)((f（x）／g（x）)=lim(x->x0)((f'（x）／g'（x）)=A(∞)

当然，如果x->∞时结论也成立

复合函数的求导（链式法则）：若y=f(u）是u的可导函数，u=φ(x)是x的可导函数，则复合函数

y=f[φ(x)]是x的可导函数，且

dy／dx=f'[φ(x)]=dy／du×du／dx=f'(u)／u'(x)

十六个基本导数公式

（y：原函数；y'：导函数）：

1、y=c，y'=0（c为常数）

2、y=x^μ，y'=μx^(μ-1)（μ为常数且μ≠0）。

3、y=a^x，y'=a^x lna；y=e^x，y'=e^x。

4、y=logax， y'=1/(xlna)（a>0且 a≠1）；y=lnx，y'=1/x。

5、y=sinx，y'=cosx。

6、y=cosx，y'=-sinx。

7、y=tanx，y'=(secx)^2=1/(cosx)^2。

8、y=cotx，y'=-(cscx)^2=-1/(sinx)^2。

9、y=arcsinx，y'=1/√(1-x^2)。

10、y=arccosx，y'=-1/√(1-x^2)。

11、y=arctanx，y'=1/(1+x^2)。

12、y=arccotx，y'=-1/(1+x^2)。

13、y=shx，y'=ch x。

14、y=chx，y'=sh x。

15、y=thx，y'=1/(chx)^2。

16、y=arshx，y'=1/√(1+x^2)。

导数小知识：

1、导数的四则运算： （uv）'=uv'+u'v （u+v）'=u'+v' （u-v）'=u'-v' （u/v）'=（u'v-uv'）/v^2  。

2、原函数与反函数导数关系（由三角函数导数推反三角函数的）：

y=f（x）的反函数是x=g（y），则有y'=1/x'。

3、复合函数的导数：

复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数（称为链式法则）。

这里将列举几个基本的函数的导数以及它们的推导过程:

1y=c(c为常数) y'=0

2y=x^n y'=nx^(n-1)

3y=a^x y'=a^xlna

y=e^x y'=e^x

4y=logax y'=logae/x

y=lnx y'=1/x

5y=sinx y'=cosx

6y=cosx y'=-sinx

7y=tanx y'=1/cos^2x

8y=cotx y'=-1/sin^2x

9y=arcsinx y'=1/√1-x^2

10y=arccosx y'=-1/√1-x^2

11y=arctanx y'=1/1+x^2

12y=arccotx y'=-1/1+x^2

在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：

1y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]�6�1g'(x)『f'[g(x)]中g(x）看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量』

2y=u/v,y'=u'v-uv'/v^2

3y=f(x)的反函数是x=g(y），则有y'=1/x'

证：1显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。用导数的定义做也是一样的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。

2这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。

3y=a^x,

⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)

⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x

如果直接令⊿x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β＝a^⊿x-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：⊿x=loga(1+β)。

所以(a^⊿x-1)/⊿x＝β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β

显然，当⊿x→0时，β也是趋向于0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。

把这个结果代入lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0a^x(a^⊿x-1)/⊿x后得到lim⊿x→0⊿y/⊿x=a^xlna。

可以知道，当a=e时有y=e^x y'=e^x。

4y=logax

⊿y=loga(x+⊿x)-logax=loga(x+⊿x)/x=loga[(1+⊿x/x)^x]/x

⊿y/⊿x=loga[(1+⊿x/x)^(x/⊿x)]/x

因为当⊿x→0时，⊿x/x趋向于0而x/⊿x趋向于∞，所以lim⊿x→0loga(1+⊿x/x)^(x/⊿x)＝logae,所以有

lim⊿x→0⊿y/⊿x＝logae/x。

可以知道，当a=e时有y=lnx y'=1/x。

这时可以进行y=x^n y'=nx^(n-1)的推导了。因为y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,

所以y'=e^nlnx�6�1(nlnx)'=x^n�6�1n/x=nx^(n-1)。

5y=sinx

⊿y=sin(x+⊿x)-sinx=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)

⊿y/⊿x=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/⊿x=cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/(⊿x/2)

所以lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0cos(x+⊿x/2)�6�1lim⊿x→0sin(⊿x/2)/(⊿x/2)=cosx

6类似地，可以导出y=cosx y'=-sinx。

7y=tanx=sinx/cosx

y'=[(sinx)'cosx-sinx(cos)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x

8y=cotx=cosx/sinx

y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x

9y=arcsinx

x=siny

x'=cosy

y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2

10y=arccosx

x=cosy

x'=-siny

y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2

11y=arctanx

x=tany

x'=1/cos^2y

y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2

12y=arccotx

x=coty

x'=-1/sin^2y

y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2

另外在对双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与

4y=u土v,y'=u'土v'

5y=uv,y=u'v+uv'

均能较快捷地求得结果。

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求导的第一原理公式：Δy=f(x0+Δx)-f(x0)。

①(u±v)'=u'±v'

②(uv)'=u'v+uv'

③(u/v)'=(u'v-uv')/v^2

④[u(v)]'=[u'(v)]v'（u(v)为复合函数f[g(x)]）

对于基本初等函数的导数公式，可以直接利用导数的定义，即瞬时变化率推出来！而对于复杂的三角函数对数函数的导数公式则要利用洛必达法则求极限推导。

导数

是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

01

(a^x)'=(a^x)(lna)

指数函数求导公式：(a^x)'=(a^x)(lna)。导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。

指数函数求导公式：(a^x)'=(a^x)(lna)。指数函数是重要的基本初等函数之一。一般地，y=ax函数(a为常数且以a>0，a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是 R 。 注意，在指数函数的定义表达式中，在ax前的系数必须是数1，自变量x必须在指数的位置上，且不能是x的其他表达式，否则，就不是指数函数。

细胞的分裂是一个很有趣的现象，新细胞产生的速度之快是十分惊人的。例如，某种细胞在分裂时，1个分裂成2个，2个分裂成4个……因此，第x次分裂得到新细胞数y与分裂次数x的函数关系式即为：

 。

这个函数便是指函数的形式，且自变量为幂指数，我们下面来研究这样的函数。

一般地，函数

(a为常数且以a>0，a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是R。对于一切指数函数来讲，值域为(0， +∞)。指数函数中

 前面的系数为1。如：

都是指数函数；注意：

指数函数前系数为3，故不是指数函数。

导数的求导法则如下：

由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。基本的求导法则如下：

1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。

2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。

3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即③式）。

4、如果有复合函数，则用链式法则求导。

y'=dy/dx=lim[f(x+Δx)-f(x)]/Δx（其中Δx→0）

Δ(f+g)=Δf+Δg,所以(f+g)'=f'+g'Δ(fg)=(f+Δf)(g+Δg)-fg=fΔg+gΔf+ΔfΔg,所以(fg)'=f'g+fg'Δ(f/g)=(f+Δf)/(g+Δg)-fg=(gΔf-fΔg)/g(g+Δg)因此(f/g)'=(f'g-fg')/g^2对于h=g(f(x)),令u=f(x)则Δh=g(u+Δu)-g(u)=Δg/ΔuΔu/Δx因此h'=g'(f(x))f'(x)

而二项式定理知(x+Δx)^n=x^n+nx^(n-1)Δx+……(以后的项都是包含了Δx的高次项）因此(x^n)'=nx^(n-1)

（当然也可以通过数学归纳法和乘法求导公式推得）

Δ(e^x)=(e^Δx-1)e^x又有极限公式e=lim(1+Δx)^(1/Δx)(Δx→0)因此当Δx→0时e^Δx-1与Δx是等价无穷小量，因此(e^x)'=e^x而a^x=e^u,其中u=xlna因此(a^x)'=d(e^u)/dudu/dx=e^ulna=a^xlna

对于y=lnx,有e^y=x由复合函数求导法则有(e^y)'=e^yy'=(x)'=1,所以y'=e^(-y)=1/x对于其他底数的对数用换底公式。

Δ(sinx)=sin(x+Δx)-sinx=2sin(Δx/2)cos(x+Δx/2)又limsinx/x=1(当x→0时)，因此Δx→0时,sin(Δx/2)/Δx→1/2于是(sinx)'=cosx注意到cosx=sin(π/2-x)，tanx=sinx/cosx,cotx=cosx/sinx,secx=1/cosx,cscx=1/sinx用四则运算公式求出来。

设g和f互为反函数，而y=g(x)则x=f(y)1=f'(y)y',y'=1/f'(y)因此对于y=arcsinx,x=sinyf'(y)=cosy=√(1-sin²y)=√(1-x^2)(因为y∈(-π/2,π/2)，所以根号取正值）因此(arcsinx)'=1/√(1-x^2)而arcsinx+arccosx=π/2,

方法都介绍了其他的你可以自己推

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