三角形三线合一定理

三线合一,即在等腰三角形中(前提)顶角的角平分线,底边的中线,底边的高线,三条线互相重合。三线合一定理简单来说就是:顶角的角平分线=底边中线=底边的高线。

已知：△ABC为等腰三角形，AB=AC,AD为中线。求证：AD⊥BC，∠BAD=∠CAD

在△ABD和△ACD中：

{ BD=DC（等腰三角形的中线平分对应的边）

{ AB=AC（等腰三角形的性质)

｛ AD=AD（公共边）

∴△ADB≌△ADC（SSS）

可得∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC (全等三角形对应角相等）

∵∠ADB+∠ADC=∠BDC（已证），且∠BDC=180°（平角定义）

∴∠ADB=∠ADC=90°（等量代换）

∴AD⊥BC

同理，若△ABC为等边三角形，结论同样成立。

得证

1、可以用三线合一来证明等腰三角形，但实际上只需要两线合一就能证明等腰三角形。三线合一，即在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合。

2、三线合一，即在等腰三角形中（前提）顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合（前提一定是在等腰三角形中，其它三角形不适用）。以下是等腰三角形的证明方法。

3、已知：△ABC为等腰三角形，AB=AC,AD为中线。求证：AD⊥BC，∠BAD=∠CAD

4、在△ABD和△ACD中：

5、BD=DC(等腰三角形的中线平分对应的边)

6、AB=AC(等腰三角形的性质)

7、AD=AD(公共边)

8、∴△ADB≌△ADC(SSS)

9、可得∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC(全等三角形对应角相等)

10、∵∠ADB+∠ADC=∠BDC(已证)，且∠BDC=180°(平角定义)

11、∴∠ADB=∠ADC=90°(等量代换)

12、∴AD⊥BC

13、得证

三线合一是等腰三角形；三线合一，即在等腰三角形中（前提）顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合（前提一定是在等腰三角形中，其它三角形不适用）。

等腰三角形是指至少有两边等长或相等的三角形，因此会造成有2个角相等，相等的两个边称为等腰三角形的腰，另一边称为底边，相等的两个角称为等腰三角形的底角，其余的角叫做顶角。

等腰三角形的重心、中心和垂心都位于顶点向底边的垂线上。

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