什么是实数

实数，就是：整数、小数，以及“带小数”的统称。

实数包括了：

整数（正整数、负整数、零）；

小数（正的、负的、有限的、无限的、循环的、不循环的）。

带小数（含有整数部分和小数部分）

这些，都是小学学过的知识吧？

实数，简单来说，就是：“数轴上所有的点”上的数字。

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虚数，是“实数与虚单位 i 的乘积”。

其中 i i =－1。

由于 i 的存在，虚数就是“i 轴上所有的点”的数字。

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复数，包括实部和虚部两个部分。

一般是以实轴为水平、i 轴为垂直，构成一个“复平面”。

复数就是：“复平面上所有点”上的数字。

有理数与无理数总称为实数。

而无理数则不然，从它的发现到它的严格定义，是曲折而漫长的。所以研究实数理论主要是研究无理数理论。

到了19世纪70年代，著名的德国数学家外尔斯特拉斯 1815-1897 、康托尔 1845-1918 和法国的柯西 1789-1857 及戴德金 1831-1916 等都对实数理论进行了研究，获得了几种形异而实同的实数理论，其中以戴德金分割法 1872 ；康托尔的有理数「基本序列」法 1872 为最有代表性。上述两法与外尔斯特拉斯的实数理论合称实数理论的三大派。

由极限理论可知，有极限的有理数列都应该是基本数列，例如若a为有理数，常数数列

a， a…， a，……

当然是基本数列，它的极限就是a本身。对2进行开平方，可依次得出一列有限小数

1，14，141，1414，14142，……

也是一个基本数列，如果已经定义了实数的话，那么它的极限应该是，但是在尚未引进无理数，而只有有理数的情况下，上述基本数列是没有极限的。这就启示我们，把每一个「基本数列」当做一种新的「数」来看待，即凡是收敛于有理数a的基本数列，把它看作有理数a，凡不能收敛于有理数的基本数列，就把它看做新的「数」——无理数。从而把基本数列的全体可当做一个「数集」，称它为实数集。

实数是有理数和无理数的总称。

数学上，实数定义为与数轴上的点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。实数和虚数共同构成复数。

实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类。实数集通常用黑正体字母R表示。R表示n维实数空间。实数是不可数的。实数是实数理论的核心研究对象。

所有实数的集合则可称为实数系（realnumbersystem）或实数连续统。任何一个完备的阿基米德有序域均可称为实数系。在保序同构意义下它是惟一的，常用R表示。由于R是定义了算数运算的运算系统，故有实数系这个名称。

实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后n位，n为正整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。

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