行列式是线性代数中的重要概念之一。遗憾的是，对于相当多的国内教材和初学者来说，除了一系列看似复杂的公式和一系列相关定理之外，一切都显得不知所云。
王！行列式具有极其清晰简洁的数学意义，尤其是明确的几何意义。
首先要认识到线性代数和(高维)几何的巨大相关性。我们甚至可以说线性代数就是线性几何。不多不少.
行列式、矩阵的逆、矩阵的秩，这三个重要的概念联系紧密，几乎是一回事。
n阶矩阵表示n维欧几里德空空间中的n个点或向量。它们在n维欧几里德空空间中“打开”形成一个sub 空空间，行列式就是这个“sub 空空间”(平行2n面)。
这本身就可以作为一个练习，并不太难。数学归纳法很好地证明了这一点。
很明显，如果这个矩阵的N个向量不是完全线性独立的，也就是说某个向量可以和其他向量线性组合，那么从几何的角度来看，开子空是一个“平坦”的，它的超体积一定是0。
所以方阵是否线性相关完全等价于其行列式是否=0。可以推断，线性相关的矩阵一定没有“逆”。矩阵本身明显代表线性组合或者线性变换，逆就是逆变换。用一个行列式=0的线性相关矩阵来改变，必然会使输入平坦化，就像*0一样，0没有倒数，所以行列式=0的矩阵没有逆。
类似地，秩是指矩阵中线性无关向量的最大数量。当秩=n为“满秩”时，则行列式≠0，矩阵有逆。秩的几何意义是这N个向量的最大非零sub 空维。
线性代数中行列式、逆、秩的计算方法有很多种，但我推荐一种统一的方法，从中可以看出三者是几乎完全相同的数学概念。
方法就是“对角化”。通过行变换和列变换(本身代表线性组合)，使矩阵逐渐变为只有对角线≠0，其他位置都=0的矩阵。当它走不下去的时候(此时右下矩阵其余部分全为0)，你就得到秩。如果完成了，就是满级。
如果过程中对角线没有归一化，那么对角线乘积就是行列式的值。(其实秩和行列式完全对角化和三角化是没有必要的)。
如果过程中对角线归一化(all =1)，那么你的整个过程就相当于求逆。应用于单位I矩阵的相同过程是原始矩阵的逆矩阵。
请记住，线性代数是几何，线性几何是矩阵。你不仅可以用几何来帮助你理解线性代数，还可以用矩阵的强大功能来秒杀各种几何问题。
