原问题应该是“量子力学中态矢和波函数的区别是什么？”
对于初学者来说，通常我们不区分状态向量和波函数。比如我们常说，在量子力学中，物理系统的状态是用波函数来描述的。有时候我们也说量子力学中物理系统的状态是用一个状态向量来描述的。这两句话想表达的意思是一样的。
严格来说，态矢和波函数还是有区别的。后者可以看作是前者的投影。
初学者容易想象的波函数ψ(x)是一个复变函数。我们也可以把波函数ψ(x)和玻恩的统计解释联系起来。“波函数的绝对值的平方-|ψ(X)| 2-对应于粒子在位置X的概率”。
态矢量在狄拉克标下常表示为| α，代表一个抽象的量子态α。
例如，状态向量是一个抽象的“对象本身”。我们看不到物体本身，但我们可以看到物体的影子，所以我们通过投影认识“物体本身”。
举个例子，我们取任意一个矢量V，投影到互相垂直的X，Y，Z轴上。我们用V的阴影在X方向的长度Vx，Y方向的阴影长度Vy，Z方向的阴影长度Vz来表示向量V。
如果写成狄拉克的记号，那就是:
这里“x|V”代表矢量V在X方向的投影:Vx。
我们对状态向量| α使用这组投影语言，假设有一个好的标准对状态向量进行分类，构成一组正交归一化基向量:{| n》
这里的投影cn = "n | α"是状态向量在某个方向N上的投影，其绝对值的平方就是物理系统在N方向上的概率。Cn其实对应的是波函数。
因为我们完全可以用位置X作为标准对量子态进行分类，粒子的不同位置也对应一个好的分类标准，它们也形成一组正交的归一化基向量:{ | X }。
只是x的值是连续的，所以这里不讲究求和的形式。注意，我们必须把它改写成积分的形式:
这里状态向量α到位置X' x'|α的投影可以改写为ψ(x ')，也就是我们通常所说的波函数。
上式中，左边的| α是态矢，右边的ψ(x)是波函数。
