数学上，高斯消元法（或译：高斯消去法），是线性代数中的一个算法，可用来为线性方程组求解，求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。当用于一个矩阵时，高斯消元法会产生出一个“行梯阵式”。不必深究，是大学高等数学内容。属于线性代数。
采用高斯先列主元消元法求解线性方程组AX=b
方法说明（以4阶为例）：
（1）第1步消元——在增广矩阵（A，b）第一列中找到绝对值最大的元素，将其所在行与第一行交换，再对（A，b）做初等行变换使原方程组转化为如下形式：
，注：“”代表非0。
（2）第2步消元——在增广矩阵（A，b）中的第二列中（从第二行开始）找到绝对值最大的元素，将其所在行与第二行交换，再对（A，b）做初等行变换使原方程组转化为：
（3）第3步消元——在增广矩阵（A，b）中的第三列中（从第三行开始）找到绝对值最大的元素，将其所在行与第二行交换，再对（A，b）做初等行变换使原方程组转化为：
（4）按x4 ; x3; ; x1 的顺序回代求解出方程组的解
选列主元的高斯消去法可以减少舍入误差的影响而不增加太多的额外计算。当方程组对应的系数矩阵对称正定时，可以不选主元。
选主元的高斯-约旦消元法在很多地方都会用到，例如求一个矩阵的逆矩阵、解线性方程组等等。它的速度不是最快的，但是它非常稳定，同时它的求解过程也比较清晰明了，因而人们使用较多。
扩展资料
选主元的G-J消元法通过这样的方法来进行初等变换：
在每一个循环过程中，先寻找到主元，并将主元通过行变换（无需列变换）移动到矩阵的主对角线上，然后将主元所在的行内的所有元素除以主元，使得主元化为1。
然后观察主元所在的列上的其他元素，将它们所在的行减去主元所在的行乘以一定的倍数，使得主元所在的列内、除主元外的其他元素化为0，这样就使得主元所在的列化为了单位矩阵的形式。这就是一个循环内做的工作。
然后，在第二轮循环的过程中，不考虑上一轮计算过程中主元所在的行和列内的元素，在剩下的矩阵范围内寻找主元，然后（如果其不在主对角线上的话）将其移动到主对角线上，并再次进行列的处理，将列化为单位矩阵的形式。余下的步骤依此类推。
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