函数的凹凸性的定义：
设函数f(x)在区间I上有定义，若对I中的任意两点x₁和x₂，和任意λ∈(0,1)，都有：
f(λx₁+(1-λ)x₂)>=λf(x₁)+(1-λ)f(x₂)。
则称f为I上的凸函数，若不等号严格成立，即“>”号成立，则称f(x)在I上是严格凸函数。
同理，如果">=“换成“<=”就是凹函数。类似也有严格凹函数。
凹凸函数的判定方法：
1、在图像上任取两点A、B连接，若函数图像在两点间的部分均在直线下方，则把该函数在[A，B]之间的部分定义为凹函数。反正为凸函数。
2、求函数的二阶导函数，f”(X)，若二阶导函数在[A，B]之间，则：
（1）若 f”(X) ≥ 0，原函数为凹函数。
（2）若 f”(X) ≤ 0，原函数为凸函数。
确定曲线y=f(x)的凹凸区间和拐点的步骤：
1、确定函数y=f(x)的定义域。
2、求出在二阶导数f"(x)。
3、求出使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点。
4、判断或列表判断，确定出曲线凹凸区间和拐点。
①求出函数一阶导。
②求出函数二阶导。
③求拐点，令二阶导数等于0，在二阶导数零点处右极限异号。
④二阶导数大于0，凹区间，反之凸区间。
扩展资料：
可导，即设y=f(x)是一个单变量函数， 如果y在x=x0处左右导数分别存在且相等，则称y在x=x[0]处可导。如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。
函数可导的条件：
如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在其上都有定义。函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在。只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才能证明该点可导。
可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。
如何求函数的单调区间和极值，凹凸区间和拐点？可以按下列三步骤分析：
第一步，求函数的一阶导数，判断函数的单调性，如在（a,b）内的任意一点，有f'(x)>0，则单调上升；如在（a,b）内的任意一点，有f'(x)<0，则单调上降
第二步，当f'(x)=0有解，则该解为函数的极值点，最大值点（-1，3），最小值点（3，-61）
第三步，求函数的二阶导数，判断函数的凹凸性，，如在（a,b）内的任意一点，有f"(x)>0，则f(x)在a,b内是凹的；如在（a,b）内的任意一点，有f"(x)<0，则f(x)在a,b内是凸的。
拐点（1，29）
求解过程如下：
一、（1）y'=4-2x，y''=4>0，因此函数在R上恒为下凸函数
（2）y'=arctanx+x/(1+x^2)，y''=1/(1+x^2) + [(1+x^2)-2x^2]/(1+x^2)^2
=2/(1+x^2)^2 > 0，因此函数在 R 上恒为下凸函数
二、（1）y'=3x^2-10x+3，y''=6x-10，令 y''>0 得 x>5/3，令 y''<0 得 x<5/3，
所以函数在（-∞，5/3）上为上凸函数，在（5/3，+∞）上为下凸函数，
拐点为（5/3，20/27）。
（2）y' = 2x/(x^2+1)，y '' = [2(x^2+1)-2x2x]/(x^2+1)^2=2(1-x^2)/(1+x^2)^2，
令 y ''>0 得 -1<x<1，令 y''<0 得 x<-1 或 x>1，
因此函数在（-∞，-1）上为上凸函数，在（-1，1）上为下凸函数，在（1，+∞）上为上凸函数，
拐点为（-1，ln2）和（1，ln2）。
例如：
y=x^4-6x²-5
y'=4x³-12x
y"=12x-12
=12(x-1)
y">0,x>1
凹区间：(1,+∞)
y"<0,x<1
凸区间：(-∞,1)
y"=0,x=1
y=1-6-5=-10
拐点：(1,-10)
y=2x/(1+x²)
y'=[2(1+x²)-2x(2x)]/(1+x²)²
=2(1-x²)/(1+x²)²
y"=2[(-2x)(1+x²)²-2(1-x²)(1+x²)(2x)]/(1+x²)^版4
=2[-2x-2x³-4x+4x³]/(1+x²)³
=4x(x²-3)/(1+x²)³
=4x(x+√权3)(x-√3)/(1+x²)³
y">0,-√3<x<0或x>√3
凹区间：(-√3,0)U(√3,+∞)
凸区间：(-∞,-√3)U(0,√3)
y"=0
x=-√3,y=-√3/2
x=0,y=0
x=√3,y=√3/2
拐点：(-√3,-√3/2),(0,0),(√3,√/2)
扩展资料：
可以按下列步骤来判断区间I上的连续曲线y=f(x)的拐点：
⑴求f''(x)；
⑵令f''(x)=0，解出此方程在区间I内的实根，并求出在区间I内f''(x)不存在的点；
⑶对于⑵中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点，检查f''(x)在左右两侧邻近的符号，那么当两侧的符号相反时，点(,f())是拐点，当两侧的符号相同时，点(,f())不是拐点。
参考资料来源：百度百科-拐点
y'=e^arctanx/(x^2+1)
y"
=[e^arctanx(x^2+1)/(x^2+1)+e^arctanx2x]/(x^2+1)^2
=e^arctanx(1+2x)/(x^2+1)^2
y"=0得到x=-1/2
在x0,函数y为凹函数
x=-1/2时y=e^[-arctan(1/2)]
凸区间为(-无穷,-1/2)
凹区间为(-1/2,+无穷)
拐点(-1/2,e^[-arctan(1/2)])
f(x)=x³-3x²
f′(x)=3x²-6x
f′′(x)=6x-6=6(x-1)
令f′′(x)=6(x-1)=0
x=1,
f(1)=1³-31²=-2
凸区间：（-∞，1）
凹区间：（1，+∞）
拐点：（1，-2）
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