如果是在广义相对论中使用的黎曼几何, 其实应该是带有(伪)黎曼度量的流形上的几何学
这个概念是非常宽泛的: 通常所说的欧式几何, 双曲几何都是其特例(曲率分别为0或负常数)
而球面几何是曲率为正常数的特例
在黎曼几何中给定了黎曼度量, 就可以讨论"测地线", 大意是流形上连接两点的最短的曲线
对欧式几何来说, 两点间直线段最短, 因此测地线就是直线
对球面几何来说, 两点间的最短曲线是大圆的弧, 因此测地线是大圆(即所在平面过球心的圆)
所以在球面几何中, 纬线并不是"直线"
任意两个大圆都会相交于一对对径点, 因此不存在"平行线"
最后补充一点技术细节:
最早研究非欧几何是为了证明平行公理和其它公理的独立性
人们建立满足其它公理而不满足平行公理的模型 (例如Poincare圆盘)
依据其中"平行公理"的形式分为双曲几何(至少有两条), 欧式几何(恰有一条)和椭圆几何(没有)
但球面几何其实不成立"两点决定一条直线", 所以球面几何其实并不是椭圆几何
不过在进行某种技术处理之后可以使其成立, 但是有点抽象, 所以就不在这里写了
几何学的发展大致经历了四个基本阶段
1、实验几何的形成和发展
几何学最早产生于对天空星体形状、排列位置的观察,产生于丈量土地、测量容积、制造器皿与绘制图形等实践活动的需要,人们在观察、实践、实验的基础上积累了丰富的几何经验,形成了一批粗略的概念,反映了某些经验事实之间的联系,形成了实验几何我国古代、古埃及、古印度、巴比伦所研究的几何,大体上就是实验几何的内容
例如,我国古代很早就发现了勾股定理和简易测量知识,《墨经》中载有“圜（圆）,一中同长也”,“平（平行）,同高也”,古印度人认为“圆面积等于一个矩形的面积,而该矩形的底等于半个圆周,矩形的高等于圆的半径”等等,都属于实验几何学的范畴
2、理论几何的形成和发展
随着古埃及、希腊之间贸易与文化的交流,埃及的几何知识逐渐传入古希腊古希腊许多数学家,如泰勒斯（Thales）、毕达哥拉斯（Pythagoras）、柏拉图（Plato）、欧几里德（Euclid）等人都对几何学的研究作出了重大贡献特别是柏拉图把逻辑学的思想方法引入几何学,确立缜密的定义和明晰的公理作为几何学的基础,而后欧几里德在前人已有几何知识的基础上,按照严密的逻辑系统编写的《几何原本》十三卷,奠定了理论几何（又称推理几何、演绎几何、公理几何、欧氏几何等）的基础,成为历史上久负盛名的巨著
《几何原本》尽管存在公理的不完整,论证有时求助于直观等缺陷,但它集古代数学之大成,论证严密,影响深远,所运用的公理化方法对以后数学的发展指出了方向,以至成为整个人类文明发展史上的里程碑,全人类文化遗产中的瑰宝
3、解析几何的产生与发展
公元3世纪,《几何原本》的出现,为理论几何奠定了基础与此同时,人们对圆锥曲线也作了一定研究,发现了圆锥曲线的许多性质但在后来较长时间里,封建社会中的神学占有统治地位,科学得不到应有的重视直到15、16世纪欧洲资本主义开始发展起来,随着生产实际的需要,自然科学才得到迅速发展法国笛卡尔（Descartes）在研究中发现,欧氏几何过分依赖于图形,而传统的代数又完全受公式、法则所约束,他们认为传统的研究圆锥曲线的方法,只重视几何方面,而忽略代数方面,竭力主张将几何、代数结合起来取长补短,认为这是促进数学发展的一个新的途径
在这样的思想指导下,笛卡尔提出了平面坐标系的概念,实现了点与数对的对应,将圆锥曲线用含有两面三刀个求知数的方程来表示,并且形成了一系列全新的理论与方法,解析几何就这样产生了
解析几何学的出现,大大拓广了几何学的研究内容,并且促进了几何学的进一步发展18、19世纪,由于工程、力学和大地测量等方面的需要,又进一步产生了画法几何、射影几何、仿射几何和微分几何等几何学的分支
4、现代几何的产生与发展
在初等几何与解析几何的发展过程中,人们不断发现《几何原本》在逻辑上不够严密之处,并不断地充实一些公理,特别是在尝试用其他公理、公设证明第五公设“一条直线与另外两条直线相交,同侧的内角和小于两直角时,这两条直线就在这一侧相交”的失败,促使人们重新考察几何学的逻辑基础,并取得了两方面的突出研究成果
一方面,从改变几何的公理系统出发,即用和欧氏几何第五公设相矛盾的命题来代替第五公设,从而导致几何学研究对象的根本突破俄罗斯数学家罗巴切夫斯基用“在同一平面内,过直线外一点可作两条直线平行于已知直线”代替第五公设,由此导出了一系列新结论,如“三角形内角和小于两直角”、“不存在相似而不全等的三角形”等等,后人称为罗氏几何学（又称双曲几何学）德国数学家黎曼从另一角度,“在同一平面内,过直线外任一点不存在直线平行于已知直线”代替第五公设,同样导致了一系列新理论,如“三角形内角和大于两直角”、“所成三角形与球面三角形有相同面积公式”等,又得到另一种不同的几何学,后人称为黎氏几何学（又称椭圆几何学）习惯上,人们将罗氏几何、黎氏几何统称为非欧几何学将欧氏几何（又称抛物几何学）、罗氏几何的公共部分统称为绝对几何学
另一方面,人们在对欧氏几何公理系统的严格分析中,形成了公理法,并由德国数学家希尔伯特在他所著《几何基础》中完善地建立起严格的公理体系,通常称为希尔伯特公理体系,希尔伯特公理体系是完备的,即用纯逻辑推理的方法,定能推演出系统严密的欧氏几何学但如果根据该公理体系,逐步推演出欧氏几何中那些熟知的内容,却是一件相当繁琐的工作
罗巴切夫斯基几何（双曲几何）是非欧几何的一种，它在天体理论有着广泛的应用：
在这里，我们从双曲几何一直说到著名的Gauss-Bonnet-Chern定理，我们还要提 到一个人，那就是伟大的Riemann，正是他创立了狭义的Riemanan几何（Riemann Geometry），然后又把这个结果纳入他创立的极度深邃的“广义Riemanan几何 （Riemannian Geometry，分清楚与Riemann Geometry的区别，它们形式上差别是 “ian”，实质上的差别却是“常曲率”与“任意曲率”的差别），推广了Gauss 的曲面内蕴几何学，定义了抽象Riemann度量，仅仅在2维情形就直接摆脱了Euclidean空间的嵌入研究，使曲面的研究不再等价于3维Euclidean空间中的曲面 研究。著名的Poincare上半平面上定义了Poincare度量，它无法在3维Euclidean 空间中实现嵌入，Poincare度量就是Riemann度量的一种。 正如Milnor的所言，双曲几何在Riemann几何出现前只是没手没脚的躯干而已。Riemann让这个躯干成为正常人体。 Riemanan之后，Beltrami使伪球面上实现了局部的双曲几何，Klein在开单位圆（ 不包括圆周）上实现了整体的双曲几何，而Poincare在上半平面（不包括实数轴 ）上实现了整体双曲几何。容易证明，单位圆和上半平面存在共形映射，而单位 圆周和实数轴作为两个域的边界，也一一对应。在单位圆上赋予Poincare度量（Poincare metric），就可以计算出它的截面曲率为-1，证明双曲几何的空间曲 率小于零。正如我们所知道的，双曲几何从Poincare去世后发展至今，最牛的人 物是Thurston，Fields奖获得者。此外，这个学科的发展很缓慢，足见其艰难，也足见Poincare之伟大。 大名鼎鼎的Schwarzschild早在26岁时就考虑过宇宙如果为弯曲的话，曲率半径应 该为多少，他在19世纪末时就说：“本世纪有人在Euclid几何之外提出non- Euclid几何，其主要实例就是球面空间和伪球面空间。我们如果知道可能具有有限曲率半径的球面和伪球面几何中世界是什么样子，我们会感到惊讶。如果有这种可能，你会感到自己处在几何学的仙境里；而且如此美妙的仙境会不会变为现实，我们也无法知道。” 他还应用当时的天文学数据估算了3维空间曲率半径的极限，认为双曲空间与球形空间的曲率半径的下限分别为64光年和1600光年。 我们当然知道，在1900年的时候，天文测距技术还是不完善的，实际上Einstein 提出静态宇宙学模型时（1917年）对宇宙大小的认识还是很模糊的，甚至于Hubble提出膨胀宇宙学说时，由于造父变星光度的分析有错误，使得宇宙的观测也相应出现严重失误。因此，在Schwarzschild那个时代，对宇宙有着如此的梦幻与计算，实在是非常了不起的。他的思想已经深入到双曲几何和椭圆几何中去了。 说个题外话，现代微分几何学家处理三维问题和四维问题时面对的困难相差时很大的，因为三维空间Ricci曲率如果为零，则Riemann截面曲率就为零，而四维空间没有这个性质。但是在Schwarzschild那时，他肯定无法考虑到这个，所以如果 他牛到直接考虑四维时空，也照样提刀上阵：） 我们也知道，Lobachevskii在提出双曲几何时就已经想象到它或许会在宇宙中实现，他说：“同时，不能不重视Laplace的见解：我们所见到的星星饿银河只属于天体的一部分，就像微弱的、若隐若现的斑点，类似于我们在猎户星座、摩羯星座及其他星座中所看到的一样。于是，且不说在想象中空间可以无限地延伸，自然界本身向我们显示的距离，甚至同我们的地球到恒星的距离相比，后者也因微小而可以忽略。此外，不能进而断言，假定直线的度量不依赖于角——这一假设，许多几何学家想采纳它作为毋需证明的严格的真理——可能在我们过渡到可见世界的极限之前，就会发现它有可以觉察到的错误。” 英国的Clifford实际上也设想过这个问题，但是到了Schwarzschild时，这个梦想被继续深化了。这样我们就可以理解为什么Einstein一搞出广义相对论，Schwarzschild就给出第一个精确解，人家早就是老手了，学起这些新的几何学也 时易如反掌，再加上解偏微分方程的特殊能力，使得Einstein对这个结果赞赏不已，比起6年后对待的Friedman，可谓无比真诚了。
欧几里得几何有一条令无数数学家无可奈何的公理，即第五公设：过直线外一点只能做一条该直线的平行线（即不相交的直线）。该公设从直观上看无懈可击，但却又无法从其他四条公设推理证明。从古希腊到19世纪初，许多数学家都尝试用欧几里得几何中的其他公理来证明欧几里得的平行公理，但是结果都归于失败。19世纪，德国数学家高斯、俄国数学家罗巴切夫斯基、匈牙利数学家波尔约等人各自独立地认识到这种证明是不可能的，而意大利数学家贝尔特拉米则证明了平行公设独立于前四条公设。
在这种情况下，俄罗斯有一个数学家罗巴切夫斯基，反其道而行之，干脆抛弃了第五公设而假设该公理不成立，并在这个假设和承认欧几里得几何其他四条公理的情况下，他发现了一个新奇的“世界”：三角形的内角和小于180度，而且随着边长增大而无限变小，直至趋于零；锐角一边的垂线可以和另一边不相交，等等。
罗巴切夫斯基运用了处理复杂数学问题常用的一种逻辑方法——反证法。这种反证法的基本思想是：为证“第五公设不可证”，首先对第五公设加以否定，然后用这个否定命题和其它公理公设组成新的公理系统，并由此展开逻辑推演。在推演过程中，他得到一连串古怪、非常不合乎常理的命题，但经过仔细审查，却没有发现它们之间存在任何逻辑矛盾。于是，罗巴切夫斯基便想当然地大胆断言，这个新公理系统可构成一种新的几何，它的逻辑完整性和严密性可以和欧几里得几何相媲美。于是，由“罗氏几何的非欧几何就这样诞生了。
至此可以看出，所谓的“非欧几何”重点就在这个“非”字上，其基本逻辑就是：我不管这个“非”是否有没有道理，先“非”了再说，只要“非”后的推理没有逻辑错误就可以。这就如同我们先假设一个本来是非正常的神经病患者为正常人，在此基础上，只要认为该神经病其他言行符合生物规律和机能，那么，无论他多么癫狂，甚或杀人还是防火，这个神经病患者的所做所为都是对的正常的，是真理性的，甚至是正义的了。
非罗氏几何的荒诞性还在于其纯粹是一种主观想象的几何。大家都知道，在纸上要过一点画出一条直线的几条平行线事实上是不可能的，即使把平面几何变成空间几何也做不到。唯一的办法就是把图形扭曲起来，然后再进行空间想象，问题的关键是你怎么扭曲？罗巴切夫斯基有办法，他的办法就是纯思辨性的主观想象，让你的思维跟他走。据说，罗巴切夫斯基还画出了这样的图形，而且用他的图形证明了三角形的内角和小于180度（如图），但你能想象出这个图形描绘的是过一点外的平行线吗？只能是强行主观认定了。
罗巴切夫斯基是在一个凹曲面上做几何论证，但同时你又要把这个凹曲面想象成二维的，这本身就是一种错乱的逻辑。我们都知道，正常人对二维弯曲平面的理解或许通过三维的曲面能够想象，但这样一来事实上就是变成三维空间了，而如果是三维弯曲空间，你就根本想象不到是怎么回事。由于完全出于主观想象，找不到现实直观图形，就连罗巴切夫斯基也把这个新几何称之为“想象几何”。正因如此，罗氏几何在当时被普遍认定为荒谬，甚至被认为是数学界的耻辱，但人类的心理往往就是如此：“谎言说上一千遍就会被有些人误以为真理”。果然，罗氏之后，就出现了相当一批被忽悠成功的跟随者了。
1868年，贝尔特拉米利用当时微分几何的最新研究成果，发表了一篇著名论文《关于非欧几里得几何的解释》，声称证明了非欧几里得几何可以在欧几里德空间中的“伪球面”，即“曳物线”的“回转曲面”上一一对应的实现。稍后，彭加勒和克莱因在欧氏系统也分别构造了罗氏几何的模型。
伪球面是由曳物线绕其渐近线旋转而形成的回转曲面。伪球面是一种形如喇叭的特殊曲面，其高斯曲率为负常数的特殊曲面。贝尔特拉米将伪球面解释为罗氏几何中一个平面的一部分。
而彭加勒的模型则是：在欧氏平面上划一条直线而使之分为上、下两个半平面，把不包括这条直线在内的上半平面作为罗氏平面，其上的欧氏点当做罗氏几何的点，把以该直线上任一点为中心，任意长为半径所作出之半圆周算做是罗氏几何的直线。然后，对如此规定了的罗氏几何元素一一验证罗氏几何诸公理全部成立。
尽管这些数学家的解释极为牵强附会，但无论怎样，罗氏几何总算获得了一些支持者，此后的非欧几何就开始逐渐声名鹊起了，这也给了后继者很多成功启示，这个启示就是：否定先前的一个或几个公论后，然后在掺杂一些合理性的东西，就有可能可以创立一门新的学科了。黎曼大概就是受到这样一个启示，而建立了黎曼几何。
黎曼几何的建立同样也是否定欧几里得的第五公设基础上取得，不过他跟罗巴切夫斯基相反：你不是说过直线外一点可以作无数条平行线吗？那我偏要反其道而行之——“过直线外的一点，一条平行线也画不出来”。大有“语不惊人死不休”的姿态。黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。
至此的几何类型可以概括如下：（1）坚持第五公设，为欧几里德几何，三角形内角和为180度；（2）以“可以引无数条平行线”为新公设，引出罗氏几何（或称双曲几何），三角形内角和小于180度；（3）以“一条平行线也不能引”为新公设，引出黎曼几何（或称椭圆几何），三角形内角和大于180度。目前，数学界普遍认为，这三中几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系，各公理之间满足和谐性、完备性和独立性，因此这三种几何都是正确的。数学界目前的这种现状很令人担心，他们正在不断走向纯粹想当然的思辨。
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