此题可用反证法进行证明，具体证明过程如下：
假设根号2是有理数，则根号2可以表示为一个分数，因为任何一个有理数都可以表示为分数形式，不妨设根号2=A/B，其中A、B都是正整数，且为最简，即不能再约分（即A、B只能一个为奇数，一个为偶数），很显然，B≠1；
则两边分别平方，可得2=A²/B²
即A²可被B²整除，分两种情况考虑
1、A为奇数、B为偶数，此时A²仍为奇数、B²仍为偶数，这时A²显然不能被B²整除，即这种情况不满足题意；
2、A为偶数、B为奇数，此时A能被2整除，则A²能被4整除，则A²/2仍为偶数，而根据假设A²/2=B²，此时B²应为奇数；但该情况时B为奇数，B²则也为奇数，即不满足题意。
综合考虑，由假设得出的结论均存在矛盾，则证明假设错误，原命题正确。
即根号2为无理数是正确的。
假设根号2是有理数，则它必然可以表示为m/n（m、n为互质的整数）的形式，即 根号2 = m/n
对等式两边平方，则有 2 = m平方 / n平方 -> 2n平方 = m平方
由于上式左边是偶数，右边（m平方）也必然是偶数，m为偶数，设用 m = 2x来表示
此时，2n平方 = (2x)平方 = 4x平方 -> n平方 = 2x平方，同理n也为偶数，设n = 2y
因此，m/n = 2x/2y = x/y，与m、n两整数互质矛盾，所以前提不成立，即根号2不是有理数->无理数
根号2是一个无理数，即无限不循环小数，约等于1414。
根号二一定是介于1与2之间的数，然后再计算15的平方大小，经过反复代数进去进行计算，也就是一个用二分法求方程x^2=2近似解的过程。根号是用来表示对一个数或一个代数式进行开方运算的符号。
根号的由来
十七世纪，法国数学家笛卡尔（1596～1650年）第一个使用了现今用的根号“√￣”。在一本书中，笛卡尔写道：“如果想求n的平方根，就写作±√n，如果想求n的立方根，则写作3√。 ”
有时候被开方数的项数较多，为了避免混淆，笛卡尔就用一条横线把这几项连起来，前面放上根号√￣（不过，它比路多尔夫的根号多了一个小钩）就为现时根号形式。
立方根符号出现得很晚，一直到十八世纪，才在一书中看到符号 的使用，比如25的立方根用 表示。以后，诸如√￣等等形式的根号渐渐使用开来。
假设√2不是无理数，而是有理数。
既然√2是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式：
√2=p/q
又由于p和q没有公因数可以约去，所以可以认为p/q
为既约分数,即最简分数形式。
把
√2=p/q
两边平方
得
2=(p^2)/(q^2)
即
2(q^2)=p^2
由于2q^2是偶数，p
必定为偶数，设p=2m
由
2(q^2)=4(m^2)
得
q^2=2m^2
同理q必然也为偶数，设q=2n
既然p和q都是偶数，他们必定有公因数2，这与前面假设p/q是既约分数矛盾。这个矛盾是
有假设√2是有理数引起的。因此√2是无理数
根号2约等于14142。根号2是无理数，不是有理数。有理数是整数和分数的统称，是整数和分数的集合。整数也可看做是分母为一的分数。不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。
根号2计算
√2=14142135623731
√2是一个无理数，它不能表示成两个整数之比，是一个看上去毫无规律的无限不循环小数。早在古希腊时代，人们就发现了这种奇怪的数，这推翻了古希腊数学中的基本假设，直接导致了第一次数学危机。
根号二一定是介于1与2之间的数。
然后再计算15的平方大小也就是一个用二分法求方程x2=2近似解的过程。
证明根号2是无理数
设根号2是有理数
根号2=M/NMN为互质整数
则2=M2/N2
M2=2M2，即M2是偶数，M为偶数
M为偶数，则M方为4的倍数
则N方为偶数，N为偶数
则MN不互质，与假设矛盾
所以根号2是无理数
不是有理数，是无理数。
这题可以用反证法来证明，证明根号2不是有理数，也就是要证明根号2是无理数。
证明：假设根号2是有理数，设根号2=Q/P（P、Q是整数，而且互质），则Q=根号2P
所以 Q平方=2P平方，因为右边是2的倍数，故左边Q平方也是2的倍数，从而Q是2的倍数，设Q=2n，代入Q平方=2P平方得：2n平方=P平方，由于左边是2的倍数，故右边P平方也是2的倍数，从而P是2的倍数，则P、Q都是2的倍数，即P、Q有公因数2，这与P、Q互质相矛盾。所以根号2不是有理数，是无理数。
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