Hamilton's principle 详解介绍

哈密顿原理 Hamilton principle 适用于受理想约束的完整保守系统的重要积分变分原理威廉·卢云·哈密顿于1834年发表其数学表达式为：式中L=T－V为拉格朗日函数,T 为系统的动能,V为它的势函数哈密顿原理[1]可叙述为：拉格朗日函数从时刻t1到t2的时间积分的变分等于零它指出,受理想约束的保守力学系统从时刻t1的某一位形转移到时刻t2的另一位形的一切可能的运动中,实际发生的运动使系统的拉格朗日函数在该时间区间上的定积分取驻值,大多取极小值由哈密顿原理可以导出拉格朗日方程哈密顿原理不但数学形式紧凑,且适用范围广泛如替换L的内容,就可扩充用于电动力学和相对论力学此外,也可通过变分的近似算法,用哈密顿原理直接求解力学问题编辑本段原理讲解英国数学家WR哈密顿1834年发表的动力学中一条适用于完整系统十分重要的变分原理,它可表述为：在N+1维空间(q1,q2,…,qN；t)中,任两点之间连线上动势L(q,妜,t)（见拉格朗日方程）的时间积分以真实运动路线上的值为驻值其变分形式为图1：图1因时间t1,t2固定,故有图2：图2因q(1),q(2) 两点固定,所以δ)q(2)=q(1)=0,于是上式成为：即积分的极值是属于真实路线由此可见,拉格朗日方程（第二类）可由哈密顿原理导出这原理的数学形式不但简洁和紧凑,而且内容广泛,如适当地替换L的内容,就能作为其他力学的基础（如电动力学和相对论力学）此外,若将此原理写成变分形式,就能利用变分法中的近似计算法来解决某些力学问题

十三、物理

本科课程提供灵活性，以适应具有一系列兴趣的学生，使他们能够在部门外承担相当大的课程负担。准备研究生院的学生可以选择各种高级课程。研究生学习主要集中在研究上，同样重视理论和实验研究。除了理论和实验基本粒子物理学，理论和实验重力和宇宙学，实验核和原子物理学，数学物理学和理论凝聚态物理学的传统优势之外，该系还拥有强大且不断发展的实验凝聚态物理和生物物理学团队。

1物理入门I

基础物理课程，涵盖经典力学，流体力学，基本热力学，声音和波浪。符合医疗要求。一个讲座，三个班，三小时的实验室教学。基础物理课程，涵盖电学，磁学和量子世界的介绍。符合医疗要求。两个90分钟的讲座和三小时的实验室教学。

2普通物理I

在介绍层面研究了控制机械系统中物体，力和能量形式运动的物理定律。以微积分为主，主要面向工科和理科学生，符合医学预科要求。物理和微积分的一些准备是可取的； 可以同时进行微积分。一个示范讲座，三个班，三小时的实验室教学。1从静电，直流和交流电路到光学的电磁学，以及现代物理学的学科都在介绍层面进行处理。物理和微积分的一些准备是可取的； 可以同时进行微积分。以微积分为主，主要面向工科和理科学生，符合医学预科要求。一个示范讲座，三个班，三小时的实验室教学。

3高等物理（力学）

本课程与物理学和微积分学做好准备的水平相当于1。与1相比，对材料的处理更加深入，数学成熟度更高。对1人感兴趣的学生应该报名参加1三周后，课程将与那些符合资格且有兴趣在剩下的学期内输入1的学生重新组织。这两门课程都可以导致物理专业。一个示范讲座，三个班，三小时的实验室教学。

4高等物理（电磁学）

高等物理课程处于更复杂的水平，强调电磁力和电磁辐射的统一。要进入本课程，学生必须在1中取得好成绩1名学生必须参加阅读期间给予的狭义相对论讲座，作为1的一部分。三个讲座，一个班，三小时的实验室教学。

5未来领导者的物理学

我们社会的未来领导者需要了解什么是物理和技术？该课程专为有朝一日成为我们有影响力的公民和决策者的非科学家而设计。无论在哪个领域，他们都将面临物理和技术发挥重要作用的重要决策。本课程的目的是介绍解释科学和技术信息以及做出最佳决策所需的关键原则和基本物理推理。学科包括能量和能量，原子和亚原子物质，波状现象和光，以及爱因斯坦的相对论。

7工程，数学，物理综合导论

综合课程涵盖和的材料，重点是工程应用。物理学科包括：应用于流体力学的力学，波动现象和热力学。该实验室围绕一个课程来构建，发射和分析水推进火箭的飞行动力学。一个讲座，三个指导，三小时的实验室教学。综合课程涵盖和的材料，重点是工程应用。数学学科包括：矢量微积分； 偏导数和矩阵； 线积分； 简单微分方程； 表面和体积积分和格林，斯托克斯和分歧定理。

8经典力学

经典力学，重点是拉格朗日方法。基础物理学是牛顿学，但是根据需要引入更复杂的数学来理解更复杂的现象。这个密集课程的学科包括拉格朗日力学的形式主义，中心力运动和散射，刚体运动和非惯性力，小振荡，耦合振荡和波。两个90分钟的讲座。

9力学与波动

涵盖分析力学的基础知识，但在转向量子力学和量子统计力学的各个方面之前，将重点转移到波动现象。相对论比中通常具有更大的权重。为学生提供了一条通向物理集中的路径，这种路径不如强，而且对于数学背景较少的学生来说更容易获得。两个90分钟的讲座。

10量子力学原理

量子力学的介绍，原子，电子，光子和其他基本粒子的物理学。学科包括状态函数和概率解释，薛定谔方程，不确定性原理，特征值问题，算子及其代数，角动量和自旋，微扰理论和氢原子。两个90分钟的讲座。

11计算物理研讨会

编码简介及其在数据收集，分析和统计推断中的应用。该课程包括每周动手实验，通过Jupyter和模块向学生介绍Linux编码环境。实验室涉及配置Raspberry Pi以与硬件传感器连接以收集中断驱动的测量。假设检验的多变量鉴别器和置信水平将应用于数据样本。实验室是从加速度计和光电探测器到外部源的不同形式的传感器数据中提取的，包括射电天文学和美术馆绘画的XRF分析。

12实验物理研讨会

克里斯托弗乔治塔利该研讨会介绍了电子和仪器仪表的基本技术。该课程包括每周动手实验室，向学生介绍迷人的电子世界。我们首先学习如何构建电路并探测它们的行为，然后探索如何创建仪器和进行测量。我们从模拟电子学开始，然后使用FPGA进行可编程数字逻辑。最后的课程涉及在FPGA中实现的机器学习，这是现代电子学可以做的事情的一瞥。

13自然科学的综合定量导论I

物理，化学，分子生物学和计算机科学的综合，数学和计算复杂的介绍。

14热物理学

统一介绍具有多个自由度的系统物理学：热力学和统计力学，包括经典和量子。应用包括相平衡，经典和量子气体，以及固体的性质。三个讲座。

15先进的电磁学

电磁理论的扩展包括麦克斯韦方程的一些重要应用。拉普拉斯方程的解，边值问题。迟钝的潜力。电磁波和辐射。狭义相对论。根据需要开发数学工具。两个90分钟的讲座。

16量子理论导论

关于量子力学基本原理的第二门课程，重点是原子和固态物理学问题的应用。两个90分钟的讲座。

17裂变科学与聚 变能

我们开发裂变和聚变能量背后的科学思想。对于裂变，我们从基本核物理学转向计算链式反应，了解反应堆和核武器的工作原理。我们研究安全和废物问题以及核扩散。我们看一下新的反应堆概念。为了融合，我们解决了限制热电离气体（称为等离子体）的物理过程。我们致力于控制大规模的不稳定性和小规模的湍流。我们研究了具有经济吸引力的聚变能源发展的进展和前景以及挑战。

18实验物理

该课程提供来自先进实验室系列的六个不同实验。实验包括约瑟夫森效应，ß衰变，全息术，穆斯堡尔谱，光学泵浦。讲座强调现代实验方法和装置。一个讲座，一个实验室课程。

19广义相对论

该课程是本科生广义相对论的入门课程。学科包括早期宇宙，黑洞，宇宙弦，虫洞和时间旅行。两个90分钟的讲座。专为科学和工程专业设计。

20全球地球物理学

介绍全球地球物理学的基本原理。在黑板上讲授，由四部分组成，这些材料构成了最终的连贯图像（我们如何知道）固体地球的结构和演化：重力，磁力，地震学和地球动力学。重点是物理原理，包括控制方程的数学推导和解决方案。两个90分钟的讲座。

21恒星和恒星形成

该课程是恒星由星际气体云的引力坍缩形成，随着它们的进化，恒星将一些气体返回到星际介质中； 改变其物理状态和化学成分。本课程讨论星系中气态和恒星成分的性质和演化； 漫星和密集星际介质的物理特性，恒星形成的理论和观察； 恒星结构； 能量产生和核合成； 恒星演化； 和恒星结束状态。两个90分钟的讲座。

22物理学的数学方法

对现代理论物理学至关重要的数学方法和技术。讨论了群论，李代数和微分几何等学科，并将其应用于具体的物理问题。将特别关注源自物理学的数学技术，例如功能整合和当前代数。共计三节课。

23现代物理学I：凝聚态物理学

本课程介绍现代凝聚态物理，以量子和统计力学为基础，研究固体的电子特性，包括带理论。金属，量子霍尔效应，半导体，超导体和磁性，以及凝聚系统中的相变和固体和液晶的结构和动态。两个90分钟的讲座。

24现代物理学II：核和基本粒子物理学

核和基本粒子物理学的基本特征被描述和解释，主要是在“标准模型”的背景下。讨论了当前感兴趣的问题。两个90分钟的讲座。

25现代经典动力学

该课程讨论了经典动力学描述的一些最重要和最美丽的现象。这包括广义哈密顿系统和变分原理，冲击波传播，引力不稳定性，简单孤子和涡旋以及湍流和周期倍增理论的基本阐述。两个90分钟的讲座。

26地球内部物理与化学

地球是一个物理系统，其过去和现在的状态可以在物理和化学的框架内进行研究。学科包括当前的地球物理概念和地球物质的物理和化学； 地球的起源和演变； 和内部动态过程的本质。一个重点是将宏观尺度上的地质过程与矿物和岩石的基本材料特性联系起来。三个讲座。先修课程：大学一年级化学或物理（最好是两年）和微积分。

27地球动力学

建立和解决与固体地球科学相关的边界值问题的高级介绍。学科包括热流，流体流动，弹性和板弯曲，以及岩石流变学，应用于地幔对流，岩浆运移，岩石圈变形，结构地质和断层力学。两个90分钟的讲座。

28电和磁

从先进的角度系统地处理电磁现象的理论。讨论麦克斯韦方程，特别注意它们的物理意义。其他学科包括介电和磁介质，辐射和散射。

29量子力学

非相对论量子力学的物理原理和数学形式。这些原则将通过选择应用于原子物理学，粒子物理学和凝聚态物质的学科来说明。

30高级量子力学

该课程在物理学5之后的高级量子力学的一学期课程。在简要回顾一些基本学科（例如，氢原子，微扰理论，散射理论）之后，将涵盖更多高级学科，包括多体理论，算子理论，相干态，物质稳定性和其他库仑系统以及玻色气体理论。

31数学物理专题

该课程涵盖了数学物理学的当前学科。提供课程时提供的更具体的学科细节。

32量子场论

量子场论介绍。Klein-Gordon和Dirac场的量化。与费曼图的相互作用。量子电动力学的基本过程。介绍非阿贝尔规范理论，辐射校正。

33高级量子场论

相对论量子理论的高级学科：重整化群，非微扰技术（孤子，瞬间）和弯曲空间中的量子场。

34统计力学

研究了统计力学的物理原理和数学形式，重点是热力学，凝聚态物理，物理化学和天体物理学的应用。

35蒙特卡罗与统计物理与材料科学中的分子动力学模拟

本课程探讨了在分子和电子尺度上模拟物质的方法。将涵盖分子动力学，蒙特卡罗和电子结构方法，重点是写作和/或执行原子和电子结构模拟的模拟代码的实践经验。

36数学物理概论

物理学中严格的数学方法介绍。涉及的学科包括经典和量子统计机制，量子多体问题，群论，Schroedinger算子和量子信息理论。

37相对论简介

从零开始到引力理论的现代介绍，重点是量子效应，超对称，弦乐和黑洞。

38凝聚态物理概论

该课程在秋季学期，该课程探索晶体，声子，传输和磁性，金属筛选和超导性的电子结构。在春季学期，重点是“软”凝聚态物理，包括流体，聚合物，液晶，相变，广义弹性，位错，动力学和流体动力学。

39高能物理

现代基本粒子物理概述。基本形式主义是在量子电动力学的背景下发展起来的，然后使用局部规范不变性原理将其概括为当前基本力的“标准模型”。然后将后者应用于各种物理情况。具体学科包括：弱衰变，W和Z物理，深度非弹性散射，CP违反，中微子振荡和希格斯搜索，重点是当前感兴趣的领域。该课程还涵盖了加速器和探测器物理学的关键概念。

40高级凝聚态物理II

费米液体，Luttinger液体，量子霍尔效应，超导性，量子磁性，近藤效应和定位。

41高能物理专题

规范理论中的大N扩展； 封闭和开放字符串的量化； 弦扰动理论和共形场理论技术； 字符串有效行动； 和大N矩阵模型和随机曲面。

42理论高能物理专题

超弦理论； 低能量有效行动； 超重力的p-brane解决方案； Dirichlet branes； D-brane接近黑洞； AdSCFT通信。

43物理化学专题

涵盖的学科每年不同，选自以下内容：国家选定的化学过程； 高分辨率光谱； 能量转移和再分配； 激光诱导化学； 表面化学； 共轭聚合物的电子特性； 非线性光学材料； 物理电化学； 异质反应动力学； 光谱学和聚类动力学和混乱的系统。

44生物物理学和定量生物学专题

分析最近关于生命现象的定量，理论基础方法的工作。学科每年轮流，涵盖生物组织的各个层面，包括（例如）光合作用的初始事件，早期胚胎发育，蛋白质家族的进化，大脑中的编码和计算，动物群体中的集体行为。在高级本科阶段学习相关物理和适用数学的知识，并提供更高级学科的教程。讲座与学生讨论近期和经典论文的结合。

45实验物理中的电子方法

模拟电路：运算放大器，有源滤波器，低电平测量，传感器，锁相环和电源：数字电路：逻辑，触发器，计数器，数据传输，AD和DA转换器和定时器； 和计算机硬件； 计算机体系结构和微型和微型计算机接口进行了研究。学生们建立了大约0个从分压器到微型计算机的电路。

46生物物理学

物理学家对生物学中选定学科的看法。该课程探讨了从个体生物分子及其复合物的功能到生物系统新兴集体性质的各种问题。物理学家对生物学中选定学科的看法。该课程探讨了从个体生物分子及其复合物的功能到生物系统新兴集体性质的各种问题。

47宇宙物理学

保罗约瑟夫斯坦哈特介绍紧凑物体的物理和天体物理学，包括白矮星，中子星和黑洞。学科包括无线电脉冲星，X射线双星和伽马射线爆发。本课程涵盖了当代宇宙学中的各种先进概念，包括膨胀，循环宇宙，暗物质和暗能量，以及如何通过宇宙微波背景和大尺度结构的宇宙观察来探索它们。该课程将与普林斯顿大学理论物理中心年秋季及以后的大爆炸课程密切相关，包括每周与研讨会发言人举行的会议。

48先进的固态电子物理

该课程介绍无序结构中的电子局域化Anderson模型和定位理论； 相关电子系统Hubbard模型，Mott过渡； 金属，绝缘体在相关和无序材料中的转变； 量子大厅效应整数和分数； 和量子相变。

49行星与生命

本科课程通过了解天体物理学，化学，生物学和地质学原理以及工程学，使学生掌握发现陆地和外星生命起源的领导角色的技能。

50等离子物理

等离子体是物质的第四种状态，是自由移动的带电粒子的集合，其中诸如波的集体现象支配着系统的行为。该课程的目的是为研究生提供强有力的跨学科支持和培训。感兴趣的范围包括等离子体的基础研究，它们与表面和周围环境的相互作用，以及与其应用相关的技术。

变分就是把所有的可能变化的参量进行微分，虚位移就是指不存在的位移，也就是指所有可能的位移。虚功原理是用来解决静平衡问题的，不属于动力学，所以是虚的。

虚位移dt=0

希望回答能够帮到您

已知地电模型和场源分布，求解位场的分布规律，称为电法勘探的正演问题，它是电法反演问题的计算和观测资料解释的重要基础。在正演模拟问题中，地下电阻率分配被限定，其任务是计算地质体上方测线观测获得的视电阻率。正演实际上是反演的一部分，因为通过反演套路计算出的模型理论视电阻率值与实际观测值比较是否一致非常有必要，求解一个特定模型的视电阻率值方法主要有5种:(1)解析法；(2)有限差分法，(3)有限元法；(4)边界元法；(5)面积分法。解析法可能是最精确的方法，取得的结果具有典型意义，但是，解析法受多种条件限制，仅局限于相对简单的几何体电场分布问题才可以求解，如球体或圆柱体；边界元法比较灵活，但是不同电阻率值的区域数受到限制，一般少于10；近地表勘探时，地下可能存在任意分布的电阻率，因此，对于求解复杂条件下的电场分布规律，有限差分法和有限元法通常是可靠的选择方法，这些方法能将地下细分成数以万计的不同电阻率单元。当然，解析法和边界元法是非常有用的，可以单独用来检查有限差分法和有限元法的精度。

211 稳定电流场的边值问题

电阻率法的正演计算问题，均归结为求解稳定电流场的下述边值问题。

2111 点源场中三维地电体的边值问题

在这种情况下，地下介质的电导率和电场均为三维空间的函数，即σ＝σ（x，y，z）和U＝U（x，y，z）。

（1）位函数U（x，y，z）所满足的微分方程

设在电导率为σ（x，y，z）的无限岩石中，位于A（xA，yA，zA）点处有一电流为Ⅰ的点电流源。由场论可知，在有源域内，可定义为

高密度电法勘探方法与技术

利用狄拉克δ函数的性质，则得

高密度电法勘探方法与技术

由j＝σE和E＝-▽U得稳定电流场位函数U所满足的微分方程为

高密度电法勘探方法与技术

高密度电法勘探方法与技术

当点电源A（xA，yA，zA）位于地表时，则上式应写成

高密度电法勘探方法与技术

对于地下岩石分区均匀情况，式（25）可写成

高密度电法勘探方法与技术

式（25）和式（26）分别为待求解的三维非均匀和分区均匀岩石中位函数U（x，y，z）所满足的微分方程。

（2）位函数U（x，y，z）所满足的边值和衔接条件

1）边值条件。由于电法所研究的稳定电流场分布于整个地下半空间，为了减少计算工作量，在求解边值问题时，通常把计算范围定在一个有限的区域内。这样，便需要在求解区域的边界Γ上，对电位函数U（x，y，z）赋予已知值。可见，为了求解位场问题，还必须知道所研究区域的边界上的位场分布状况，即边值条件。一般有三种类型的边值条件:

a 第一类边值条件

高密度电法勘探方法与技术

式中:Г表示所研究区域Ω的边界；g（x，y，z）是定义在Γ上的已知函数。

b第二类边界条件

高密度电法勘探方法与技术

式中:n是Γ的外法线。

c第三类边值条件

高密度电法勘探方法与技术

式中:A为已知正数。

2）衔接条件。在所研究的区域Ω内，两种具有电导率为σ1和σ2的岩石交界面处，电位和电流密度法向分量满足以下衔接条件:

a 由于电位的连续性，在交界面处有

高密度电法勘探方法与技术

b 由于电流密度法向量的连续性，在交界面处有

高密度电法勘探方法与技术

式中:n为交界面的法线方向。

2112 线场源中地电断面的边值问题

在此情况下，岩石的电导率和电场沿岩体走向（y方向）均无变化，只是坐标（x，z）的函数，σ＝σ（x，z）和U＝U（x，z）。此时，电位U（x，z）满足二维偏微分方程

高密度电法勘探方法与技术

式中:f＝-21σ（x-xA，z-zA）；Ⅰ为位于A（xA，yA）的线电流单位长度上的电流强度。

该问题中，边界上的位函数U（x，z）和已知函数g（x，z）同样满足式（27）～式（211）所示的边值和衔接条件。

2113 点源场中二维地电断面的边值问题

在这种情况下，介质的电导率沿走向（y方向）无变化，仅是坐标（x，z）的函数，即σ＝σ（x，z），电场为三维空间的函数U（x，y，z）应满足方程

高密度电法勘探方法与技术

式中: 1= -2Iδ(Y-YA' Y - YA' Z-ZA) 。

对式（213）两端作傅里叶变换，得

高密度电法勘探方法与技术

式中: f1, = -1σ (x -xA， z -ZA) ; σ=σ( X， z);V=( X， λ ， z) λ 方空A波A。

这样，将三维的偏微分方程（213）变成了二维偏微分方程（214），即将（x，y，z）三维空间中的电位U（x，y，z）变换为（x，z）二维空间中的变换电位V（x，λ，z）。当分别对若干个给定的λ值求解方程（214），获得V（x，λ，z）后便可按下式作傅里叶逆变换，得到待求电位:

高密度电法勘探方法与技术

2114 特殊条件下的边值问题

（1）无源域的边值问题

对于无源域，即在所求解的地电断面内无电源（点源或线源），方程（26），（212）和（214）中的位函数U（x，y，z），U（x，z）和V（x，λ，z）分别满足拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程:

高密度电法勘探方法与技术

（2）分布均匀介质的边值问题

1）有源情况。由于所求解域内介质的电导率σ为常量，故有 ，所以式（26），式（212），式（214）可以分别写成

高密度电法勘探方法与技术

式中: 1= -2Ipδ(M-A); λ= -Ipδ(M -A) 。

2）无源情况。由于所求解域内介质的电导率σ为常量，且无电源，故式（216），式（217），式（218）可简写成

高密度电法勘探方法与技术

综上所述，计算传导类电法勘探的正演问题，或求解稳定电流场的边值问题，就是要根据情况确定未知的电位函数U（或其变换函数），使其在已知电导率σ分布的求解区域内满足相应的微分方程和边值条件。

212 解析法

在简单地电条件下求解位场分布时，常用解析法中的分离变量法和类比法。

（1）分离变量法

分离变量法是求解电磁场边值问题常用的解析方法，该法的具体内容是假定待求的位函数由2个或3个仅含1个坐标变量的函数乘积所组成，然后将该乘积关系代入所求解的偏微分方程，经过整理，通过分离常数的联系，原来的偏微分方程可转化为几个常微分方程，其数目等于独立坐标变量数。解这些常微分方程并以给定的边值（包括边界上的衔接条件）决定其中的待定常数和函数后，即可求得待定的位函数。

（2）类比法

在边值问题的分析计算中，根据位场解答的唯一性定理，各种物理场，不论其对应物理量的意义是否相同，只要它们具有相似的微分方程和边值，则所得的解在形式上必完全相似，因而就把某一位场的分析计算结果，推广到一切相似的位场中去。

另外，在特定条件下，求解电法勘探的边值问题常用的解析方法还有镜像法和保角变换法等。

213 数值计算方法

解析法只能求解少数规则形体的边值问题，对于复杂条件下电场分布，常需借助数值计算方法。目前，用于电法勘探的数值计算方法有:有限差分法、有限单元法、面积积分法和边界单元法等，下面将对这些数值计算方法的原理进行简要的介绍。

2131 有限差分法

有限差分法是以差分原理为基础的一种数值计算方法，它用各离散点上函数的差商来近似替代该点的偏导数，把要解的边值问题转化为一组相应的差分方程，然后，解出差分方程组（线性代数方程组）在各离散点上的函数值，便得到边值问题的数值解。现以二维等步长差分格式为例，说明有限差分法的原理和方法步骤。

（1）区域离散和网格剖分

如图21所示，用平行于坐标轴的两组直线族将地下划分成正方形网格，相邻两坐标线的距离为h，则任一节点的（x，z）坐标为

高密度电法勘探方法与技术

图21 二维等步长正方形网格

每个正方形为一单元，其边长为h，称为步长，网格的交点称为节点。任一节点的坐标（x，z）可表示为（ih，kh），或简化为（i，k），用阶梯状折线代替原来的曲线段。在边界线以内的节点称为内节点，边界上的节点称为边界节点。

（2）微分方程离散化和构组差分方程某一内节点（i，k）处的电位为U（i，k），由于h很小，可将节点（i，k）四周的电位在节点处展成泰勒级数:

高密度电法勘探方法与技术

式中:Ux，Uxx…和Uz，Uzz…分别表示U对x和z的一阶导数、二阶导数等。

将前两个式子相加，并且忽略h的四次项和更高次项，经整理可得

高密度电法勘探方法与技术

同理可得

高密度电法勘探方法与技术

将上述Uxx和Uzz代入含源分区均匀岩石中位函数U所满足的微分方程（219）的第二式，即得二维函数U（x，z）的差分方程

高密度电法勘探方法与技术

对于无源分区的均匀介质，位函数U（x，z）所满足的微分方程（220）的差分方程为

高密度电法勘探方法与技术

（3）线性方程组的形成与求解

对于边界节点，其相应的差分方程可根据边界条件给出。全部节点所建立差分方程（226）和（227）的总和可分别写成以下矩阵形式:

高密度电法勘探方法与技术

和

高密度电法勘探方法与技术

式中:［A］是方程组的系数矩阵，它是与电阻率分布有关的函数；｛U｝ 是电位U的列向量，其分量为所有节点上的电位；｛F｝ 是常向量。

当给定电阻率分布及边界条件后，解线性方程（228）和（229）便可求得电位的空间分布。

电位 ｛U｝ 值的计算精度与步长h的大小有很大关系。一般来说，网格划分越细，即h值越小，｛U｝ 值与理论值就越接近。但是，此时节点数目也急剧增加，因而，所需的计算机内存和计算时间也就会增大。解决计算机速度与精度这一矛盾的较好方法是采用变步长，即在近区将网格划分得密些，远区影响较小可划分得稀些。

图22为一个采用不同装置的2-D高密度电法勘探视电阻率拟断面有限差分正演模拟例子，其中图22a为地质模型，图22b为温纳（Wenner）装置获得的视电阻率拟断面，图22c为单极-单极（pole-pole）装置获得的视电阻率拟断面，图22d为偶极-偶极（dipole-dipole）装置获得的视电阻率拟断面。

图23为一3-D高密度电法勘探视电阻率拟断面有限差分正演模拟例子，其中图23a为5×15布设的电极测网（即225根电极）和3-D地质模型，在电阻率为50Ω·m的模型介质中嵌入了4个四方形棱柱，图为穿过地质体的水平切片。图23b为单极-单极（pole-pole）装置的视电阻率值水平方向的切片，注意，在网格中心，从10～32 m深处有一电阻率为10Ω·m的低阻体，该低阻异常体是由于极距小于4 m造成的；但是，对于电极距大于6m，低阻棱柱成了高阻异常，这是一个由于C1和P1电极间，在近地表区域为负灵敏度出现了 “异常翻转” 的现象。

2132 有限单元法

有限单元法是以变分原理和剖分插值为基础的数值计算方法。用这种方法解稳定电流场问题时，首先利用变分原理把所要求解的边值问题转化为相应的变分问题，也就是所谓泛函的极值问题。然后，与有限差分法相似，使连续的求解区域离散化，即按一定的规则将求解区域剖分为一些在节点处相互连接的网格单元，进而在各单元上近似地将变分方程离散化，导出以各节点电位值为未知量的高阶线性方程组，最后求解此方程组，算出各节点的电位值，以表征稳定电流场的空间分布。

（1）稳定电流场的变分问题

由前面讨论可知，稳定电流场的计算可归结为求解电位所满足的偏微分方程边值问题式（25）至式（220）。为了用有限单元法求上述边值问题的数值解，首先将其转化为相应的变分问题，即构造相应的泛函表达式。

1）点源三维情况。根据前述稳定电流场的边值问题，点源三维稳定电流场的计算，可归结为求解下列的边值问题:

图22 一个采用不同装置的2-D高密度电法勘探视电阻率拟断面有限差分正演模拟例子

图23 一个3-D高密度电法勘探正演模拟例子（测网为15×15）

高密度电法勘探方法与技术

式中:Γ2为求解区Ω的地面边界；Γ1为求解区Ω的其余边界。

与式（230）问题等价的变分问题为

高密度电法勘探方法与技术

顺便指出，边值问题式（230）中的边值条件 在变分问题式（231）中没有出现，因为根据变分原理，这一边值条件将自然得到满足。

2）线源二维情况。与点源三维情况相似，二维地电条件下，稳定电流场的边值问题为

高密度电法勘探方法与技术

与其等价的变分问题为

高密度电法勘探方法与技术

式中:S为二维（平面上）的求解区；Г＝Г1 ＋Г2构成求解区S的全部边界线。

与三维情况相似，应用变分，可以证明式（232）与式（233）的等价性；并且，同样可以看到，式（232）中的边值条件 在变分问题式（233）中也是自然被满足。

3）点源二维情况。对于点源二维地电条件，所求解的稳定电流场的边值问题为

高密度电法勘探方法与技术

式中

与二维偏微分方程边值问题式（214）等价的变分问题为

高密度电法勘探方法与技术

求出变换电位V（x，y，z）之后，便可按下式作傅里叶逆变换计算电位:

高密度电法勘探方法与技术

（2）区域离散和网格剖分

有限单元法与有限差分法类似，需将连续求解离散化和作网格剖分。在二维情况下，最常用的方法是将求解区剖分为一系列互不重叠的三角形单元，每个单元的顶点称为节点。如图24所示，剖分求解区域的规则是:单元的节点只能与相邻单元的节点相重，而不能成为相邻单元的边内点；每个单元内介质的电导率为常数，在不同电导率介质的分界面（内边界）上或求解区的（外）边界上，使三角形单元的一个边互相衔接，以这样形成的折线逼近边界线；三角形单元的三条边长（或三个顶角）之间差异不要过大；在电场变化剧烈、电位参数的二阶或高阶导数值大的地方，应使单元剖分得细一些，而在电场变化平缓的地方，可剖分得稀些。

（3）线性插值

为了计算二维变分问题式（233）中积分形式的泛函J（U），需要知道求解域内的U函数值，通常是利用各节点函数值在各单元内作线性内插，按单元逐个计算U值。

如图25所示，设第e个单元的3个节点按逆时针方向编号分别为i，j，m，其坐标分别记为（xi，zi），（xj，zj），（xm，zm），对应的节点函数值为Ui，Uj，Um。假设各单元内，函数U（x，z）是线性变化的，即

图24 有限元网格剖分示例

图25 三角形单元

高密度电法勘探方法与技术

式中:系数a，b，c可由单元上3个节点的函数值和坐标算出。对于单元e，3个节点上的U都应满足式（237），故有

高密度电法勘探方法与技术

按克莱姆法则求解上述方程组，得

高密度电法勘探方法与技术

高密度电法勘探方法与技术

将式（239）代入式（237），便得到单元e内函数U的线性插值表示式:

高密度电法勘探方法与技术

式中:

高密度电法勘探方法与技术

如果在每个单元上都按此给出U（x，z）的近似表达式，便可得到整个求解区内U（x，z）的总体近似函数，这个函数在各个单元内是线性的，即它是一个分片线性函数。对于任意两个相邻单元来说，近似函数在公共边上的值被两个端点的节点函数值唯一确定，所以，总体近似函数在整个求解区自然是连续的。

（4）变分问题的离散化

二维变分问题式（233）中的泛函——整个求解区上的积分J（U），可以分解为各个单元上的积分Je（U）之和:

高密度电法勘探方法与技术

式中:Je（U）不难根据各单元e内函数U的线性插值近似式（240）算出。

1）单元分析。根据式（233），并考虑到单元内σ为常量，则可将单元e上的泛函写成:

高密度电法勘探方法与技术

式中:σe为单元e内的电导率值；ⅠA为电流源强度。

由式（240）可得

高密度电法勘探方法与技术

因而式（242）可用矩阵表示为

高密度电法勘探方法与技术

式中:

高密度电法勘探方法与技术

高密度电法勘探方法与技术

;n 方以i 方A庶的A元小敏。

由式（244）可见，［Ke］为单元系数矩阵，它是一个对称矩阵，其元素的一般表达式为

高密度电法勘探方法与技术

2）总体合成。按式（241）对所有单元的Je（U）相加，并将式（244）代入，便可得到整个求解区的泛函J（U）关于节点电位的离散表达式:

高密度电法勘探方法与技术

这样，泛函J（U）就完全离散化为多元二次函数:

高密度电法勘探方法与技术

所以，将变分问题式（233）化为二次函数的极值问题，即

高密度电法勘探方法与技术

根据函数极值理论，应有

高密度电法勘探方法与技术

则由式（248），即得

高密度电法勘探方法与技术

或表示为矩阵形式

高密度电法勘探方法与技术

式中: ，其元素为所有单元矩阵［Ke］的相应元素之和；列向量 ，其元素也为所有单元场源列矢量 ｛Ie｝ 的相应元素之和；｛U｝＝｛U1，U2，…，UN｝T。

式（252）经边界条件处理，应修改为

高密度电法勘探方法与技术

方程组的系数（即刚度矩阵［K'］的元素）决定于节点坐标及电导率的分布，是已知的；右端项也是给定的，于是求方程组（253），便可获得待求电位值。

图26为一2-D高密度电法勘探视电阻率拟断面限单元法正演模拟例子，采用温纳（Wenner）β装置，图26a为视电阻率拟断面，图26b为地质模型。

2133 边界单元法

边界单元法是以边值问题控制微分方程的基本解为基础，首先建立边界积分方程，然后，在区域的边界上划分单元，进行数值求解。

（1）以加权剩余格式建立边界积分方程

加权剩余法已成为求解数学物理方程的普遍方法，为了一般化，现以加权剩余格式，由控制方程及边值条件出发，建立边界积分方程。使用以下记号

高密度电法勘探方法与技术

上两式分别表示函数u和v的乘积在域Ω和边界г的积分，称（u，v）Ω和（u，v）г为u和v的内积。

对于自伴随线性微分算子，通过分部积分，总可以得到如下形式的内积公式:

高密度电法勘探方法与技术

图26 一有限单元法高密度电法勘探正演模拟例子

式中:S为基本边界条件算子，G为自然边界条件算子。该算子相应的微分方程边值问题可列为

高密度电法勘探方法与技术

式中:g，s是对应于相应边界算子的给定函数；Г1，Г2则代表给定s或g的边界。

当用加权余量法求解时，对微分方程及对应边界条件，选取近似解u代替精确解u0，从而得到余量（或误差）函数:

高密度电法勘探方法与技术

适当选取权函数w，利用加权，使余量接近于零，从而总体意义上满足域内及边界要求，即设

高密度电法勘探方法与技术

如果在域Ω及其各边界段分别设权函数w为

高密度电法勘探方法与技术

利用式（256）和式（264），可将式（263）写成

高密度电法勘探方法与技术

该式更紧凑的形式为

高密度电法勘探方法与技术

在边界元法中，采用算子的基本解作为权函数w，即采用满足如下方程的奇异函数:

高密度电法勘探方法与技术

式中:δi是狄克函数，它在所考虑的“i” 点邻域上的积分等于1，而在其他地方的积分为零，且有

高密度电法勘探方法与技术

将式（267），（268）代入方程（266）中，即得

高密度电法勘探方法与技术

式中:ci是与Ω的边界所确定的张角成正比的系数。

若记Bi＝〈f，w〉，则式（269）可写成

高密度电法勘探方法与技术

式（270）即为待求的边界积分方程。

1）点源场三维地电体位场问题。假设电阻率分别为ρ1和ρ2的围岩介质和三维地电体分布在域Ω1和Ω2内，其中位函数分别表示为U0（x，y，z）和V0（x，y，z）。具有电流为Ⅰ的点电源位于光滑地表A处。位函数精确解U0（x，y，z）和V0（x，y，z）满足边值问题:

控制微分方程:

自然边界条件:

本质边界条件:

当用位函数的近似解u和v分别替代式（271）至式（274）和相应的衔接条件式（210），式（211）中的精确解U0和V0，并取权函数w＝u，S（w）＝u，G（w）＝ 时，代入方程（270）后，可得该边值问题的边界积分方程:

高密度电法勘探方法与技术

式中:u＝1/4πr为拉普拉斯方程的基本解； 。

2）点源场二维地电体的位场问题。假设具有电流为I的点电流源A位于光滑地表，分布在域Ω1和Ω2的围岩介质和二维地电体的电阻率分别为ρ1和ρ2，其内的电位函数分布为U0（x，y，z）和V0（x，y，z），如图27所示。三维位函数U0和V0满足如下的边值问题:

控制微分方程:

自然边界条件:

本质边界条件:

式中: 分别为Г1和Г2边界上的已知函数。

图27 点源场二维地电断面

对上述各式进行余弦傅里叶变换，可将三维的位函数U0（x，y，z）和V0（x，y，z）转变为二维的位函数u0（x，y，z）和v0（x，y，z），并满足边值问题:

控制微分方程:

自然边界条件:

本质边界条件:

式中:λ为傅里叶变换量（或波数）。

当用位函数的近似解u和v分别代替式（281）～式（284）和衔接条件式（210），（211）中的精确解u0和v0，并取与点源场三维地电体位场问题中相同形式的权数w，S（w），G（w）时，代入方程（270）后，可得该边值问题的边界积分方程:

式中 是亥姆霍茨方程和基本解。

3）均匀场二维地电体位场问题。给定的地电断面如图28所示，地下围岩介质的电阻率ρ1，矿体的电阻率ρ2，并分别属于域Ω1和Ω2，其电位精确解分别用u0和v0表示。根据式（220），位函数u0（x，z）和v0（x，z）应满足如下边值问题:

控制微分方程:

自然边界条件:

本质边界条件:

式中: 分别为Г1和Г2上的已知边值函数。

当用位函数的近似解u和v分别替代式（287）～式（290）中的精确解u0和v0，并取相应的权函数，代入方程（270）后，可得该边值问题的积分表达式:

高密度电法勘探方法与技术

式中: 是二维拉普拉斯方程的基本解。

图28 均匀、稳定电流场二维地电断面

（2）确定离散方程与基本方程

为了利用边界积分方程（270）计算待求电位ui值，需要将其离散化为线性代数方程组。为此，将边界Г划分成许多小单元，称之为边界元。假设在各单元上，取u和q值为常数，且用中结点值表示，则称常数元（图29a）；若u和q值在单元上呈线性变化，则称线性元（图29b）；如用二次曲线来逼近边界，则称为二次元（图29c）。下面以线性元解法为例来说明离散方程与基本方程的确定方法。

图29 边界元类型

因为线性元的u和q在单元上呈线性变化，故在两个直线元的交点（端结点）上赋已知值（图210）。假定在Г1的端结点上，q是已知的，在Γ2的端结点上u是已知的，根据积分的可加性，对于结点“i”，可将式（270）中的积分化为每个单元Гj的积分和，即得离散方程:

图210 线性元

高密度电法勘探方法与技术

对于平面域的边界线元Гj，因为u和q在单元上是线性变化的，所以u和q在单元上任一点的值，可借助与端结点的值和两个线性插值基函数来确定:

高密度电法勘探方法与技术

式中:ξ是无量纲坐标， 。

将式（294）和（295）式代入（293）后，其中的单元积分可写成:

高密度电法勘探方法与技术

式中:

高密度电法勘探方法与技术

要写出对应于节点“i”的离散方程形式，需要把两个相邻单元Гj和Гj-1的贡献加起来，合成一项，以决定j节点上uj和qj的系数:

高密度电法勘探方法与技术

于是，式（293）对应于“i” 的装配方程，可写成:

高密度电法勘探方法与技术

对于空间域Ω的边界面元Гj，假定三角形单元Гj的3个顶点坐标为（x1，y1，z1），（x2，y2，z2）和（x3，y3，z3），则三角形内任一点的坐标（x，y，z）为

高密度电法勘探方法与技术

由于假定u和q值在每个单元呈线性变化，所以，可借助与三角形端结点的值和线性插值基函数，确定该单元内任一点的u和q:

高密度电法勘探方法与技术

式中:φk＝ξk。于是，方程（293）中的单元积分，可写成

高密度电法勘探方法与技术

式中:

利用式（2103），式（2104），对应于节点i，式（293）可写成:

高密度电法勘探方法与技术

对于方程（299）和方程（2105），若记 ，则上述方程可分别写成如下更紧凑的形式:

高密度电法勘探方法与技术

同常数元解法一样，若把全部“i” 点合起来，方程（2106）和方程（2107）分别构成N阶和M阶线性代数方程组，可表示为矩阵方程

高密度电法勘探方法与技术

对于线积分hij和gij运用四点或七点高斯求积，用高斯消元法求解线性方程组（2108），便得待求的二维电位。对于点源二维问题，尚须使二维电位U（x，λ，z）通过傅里叶逆变换，以获得要求的三维电位值U（x，y，z）。最后，根据所采用的电阻率法装置类型和大小，按公式ρs＝K△UP1P2/I计算视电阻率异常值。

2134 面积分法

图211 用面积分法求解位场示意图

面积分法是从积累电荷的概念出发，通过求解积分方程，以确定电场空间分布的一种数值计算方法。如图211所示，在电阻率为ρ1的半无限介质中，埋有电阻率为ρ2的三维地质体，由场论中静电场与稳定电流场的类比关系可知，求解稳定电流场，可利用电阻率分界面上积累电荷的面分布。为此，设地下某一点的电位U（M）为

高密度电法勘探方法与技术

式中:U0（M）为供电电极A在M点产生的正常电位。即

高密度电法勘探方法与技术

Ua（M）为地质体表面的积累电荷对M点产生的异常电位:

高密度电法勘探方法与技术

式中:σ（Q）为地下矿体表面S上任一点Q的积累电荷面密度。

为镜像矿体表面 积累电荷对M点产生的异常电位，有

高密度电法勘探方法与技术

因而，地下任一点M的电位表达式（2109）可写为

高密度电法勘探方法与技术

可见，根据边界条件求出积累电荷的面分布，便可有上式计算出电位值。

变分法和微扰法求得的基态能量都比严格值偏大这是由于变分法所取试探波函数和微扰法所取微扰项并不能完全与体系的真实哈密顿量相等这些近似方法都只能求出能量的上限值,如果小的话,这些近似方法就完全没有意义了

近似方法近似结果的好坏取决于该方法所选取的哈密顿量与真实哈密顿量的贴合程度

以上就是关于Hamilton's principle 详解介绍全部的内容，包括:Hamilton's principle 详解介绍、普林斯顿大学年自然科学研究专业介绍（二）、变分是什么东西等相关内容解答，如果想了解更多相关内容，可以关注我们，你们的支持是我们更新的动力！