幂函数导数公式的证明：
y=x^a
两边取对数lny=alnx
两边对x求导(1/y)y'=a/x
所以y'=ay/x=ax^a/x=ax^(a-1)
在这个过程之中：
1、lny 首先是 y 的函数，y 又是 x 的函数，所以，lny 也是 x 的函数。
2、lny 是一目了然的，是显而易见的，是直截了当的，所以称它为显函数，explicit function。
3、设 u = lny，u 是 y 的显函数，它也是 x 的函数，由于是隐含的，称为隐函数，implicit。
4、u 对 y 求导是 1/y，这是对 y 求导，不是对 x 求导。
5、u 是 x 的隐函数，u 对 x 求导，用链式求导，chain rule。
6、u 对 x 的求导，是先对 y 求导，然后乘上 y 对 x 的求导，也就是：
du/dy = 1/y
du/dx = (du/dy) × (dy/dx) = (1/y) × y' = (1/y)y'。
扩展资料：
幂函数高阶导数公式的推导：
运用导数定义x^n'=（（x+Δx）^n-x^n）/Δx
运用二项式展开后并除去Δ的结果中除了C（1,n）x^n-1之外全部是含Δ的项
因为Δ趋于无穷小所以可以直接省掉
所以x^n'=nx^n-1
参考资料来源：百度百科-求导
概念不同,是两个函数,所以导数当然也不同:
D(x^u)=ux^(u-1);
D(a^x)=ln(a)a^x
这里用D来表示对x求导,a和u是与x无关的常数,一个降次,一个翻倍
但如果是w=y(x)^z(x)求导,就要分别把底数和指数看作常数,对另一个求导,再相加:
Dw=zy^(z-1)Dy+ln(y)y^zDz
例如:函数x^x求导就是:xx^(x-1)+ln(x)x^x=x^x(1+ln(x))
24个基本求导公式可以分成三类。第一类是导数的定义公式，即差商的极限 再用这个公式推出17个基本初等函数的求导公式，这就是第二类。最后一类是导数的四则运算法则和复合函数的导数法则以及反函数的导数法则，利用这些公式就可以推出所有可导的初等函数的导数。
1、f'(x)=lim(h->0)[(f(x+h)-f(x))/h] 即函数差与自变量差的商在自变量差趋于0时的极限，就是导数的定义。其它所有基本求导公式都是由这个公式引出来的。包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数，一共有如下求导公式：
2、f(x)=a的导数， f'(x)=0, a为常数 即常数的导数等于0；这个导数其实是一个特殊的幂函数的导数。就是当幂函数的指数等于1的时候的导数。可以根据幂函数的求导公式求得。
3、f(x)=x^n的导数， f'(x)=nx^(n-1), n为正整数 即系数为1的单项式的导数，以指数为系数， 指数减1为指数 这是幂函数的指数为正整数的求导公式。
4、f(x)=x^a的导数， f'(x)=ax^(a-1), a为实数 即幂函数的导数，以指数为系数，指数减1为指数
5、f(x)=a^x的导数， f'(x)=a^xlna, a>0且a不等于1 即指数函数的导数等于原函数与底数的自然对数的积
6、f(x)=e^x的导数， f'(x)=e^x 即以e为底数的指数函数的导数等于原函数
7、f(x)=log_a x的导数， f'(x)=1/(xlna), a>0且a不等于1 即对数函数的导数等于1/x与底数的自然对数的倒数的积
8、f(x)=lnx的导数， f'(x)=1/x 即自然对数函数的导数等于1/x
9、(sinx)'=cosx 即正弦的导数是余弦
10、(cosx)'=-sinx 即余弦的导数是正弦的相反数
11、(tanx)'=(secx)^2 即正切的导数是正割的平方
12、(cotx)'=-(cscx)^2 即余切的导数是余割平方的相反数
13、(secx)'=secxtanx 即正割的导数是正割和正切的积
14、(cscx)'=-cscxcotx 即余割的导数是余割和余切的积的相反数
15、(arcsinx)'=1/根号(1-x^2)
16、(arccosx)'=-1/根号(1-x^2)
17、(arctanx)'=1/(1+x^2)
18、(arccotx)'=-1/(1+x^2)
最后是利用四则运算法则、复合函数求导法则以及反函数的求导法则，就可以实现求所有初等函数的导数。设f,g是可导的函数，则：
19、(f+g)'=f'+g' 即和的导数等于导数的和。
20、(f-g)'=f'-g' 即差的导数等于导数的差。
21、(fg)'=f'g+fg' 即积的导数等于各因式的导数与其它函数的积，再求和。
22、(f/g)'=(f'g-fg')/g^2 即商的导数，取除函数的平方为除式。被除函数的导数与除函数的积减去被除函数与除函数的导数的积的差为被除式。
23、(1/f)'=-f'/f^2 即函数倒数的导数，等于函数的导数除以函数的平方的相反数。
24、(f^(-1)(x))'=1/f'(y) 即反函数的导数是原函数导数的倒数，注意变量的转换。
想要牢记这些基本的求导公式，一定要学会用自己的语言来描述它们，就像老黄上面所做的一样，才能把它们内化成自己的知识，在以后运用时做到得心应手。
最后以f(x)=sinx的导数f'(x)=-cosx为例，介绍它是怎么由导数的定义公式推导出来的：
f'(x)=lim(h->0)[(sin(x+h)-sin(x))/h]=lim(h->0)[2sin(h/2)cos((2x+h)/2)/h]=lim(h->0)[sin(h/2)/(h/2)]乘以lim(h->0)[cos((2x+h)/2]=lim(h->0)[cos((2x+h)/2]=cosx
几个基本初等
函数
求导公式
(C)'=0，
(x^a)'=ax^(a-1)，
(a^x)'=(a^x)lna，a＞0，a≠1；(e^x)'=e^x
[log<a>x]'=1/[xlna]，a＞0，a≠1；(lnx)'=1/x
(sinx)'=cosx
(cosx)'=-sinx
(tanx)'=(secx)^2
(cotx)'=-(cscx)^2
(arcsinx)'=1/√(1-x^2)
(arccosx)'=-1/√(1-x^2)
(arctanx)'=1/(1+x^2)
(arccotx)'=-1/(1+x^2)
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