韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。
这里主要讲一下一元二次方程两根之间的关系。
一元二次方程ax＾2+bx+c=0(a≠0且b＾2-4ac≥0）中,两根
x1
,
x2
有如下关系:
x1+x2=-b/a;
x1x2=c/a
一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0
且△=b^2-4ac≥0)中
设两个根为x1和x2
则x1+x2=
-b/a
x1x2=c/a
用韦达定理判断方程的根
若b^2-4ac>0
则方程有两个不相等的实数根
若b^2-4ac=0
则方程有两个相等的实数根
若b^2-4ac≥0则方程有实数根
若b^2-4ac<0
则方程没有实数解
韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，对一个一元n次方程∑aix^i=0
它的根记作x1,x2…,xn
我们有
∑xi=(-1)^1a(n-1)/a(n)
∑xixj=(-1)^2a(n-2)/a(n)
…
πxi=(-1)^na(0)/a(n)
其中∑是求和，π是求积。
如果一元二次方程
在复数集中的根是，那么
由代数基本定理可推得：任何一元
n
次方程
在复数集中必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：
其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。
法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
韦达定理在方程论中有着广泛的应用。
(x1-x2)的绝对值为(根号下b^2-4ac)/（a的绝对值）
一元n次方程有n个根，包括实根虚根。一元n次方程，存在无实数解的情况。如果有实数，那么n次方程就有n个实数根。这n个实数根，可能互不相等，也可能相等。
例如：
一元二次方程，如果判别式小于0，那就没有实数根。如果判别式等于0，那就有2个相等的实数根；如果判别式大于0，那就有2个不相等的实数根。
一元N次多项式的n个根，意味着多项式可以分解因式：a(x-x1)(x-x2)(x-xn)
系数比较得到：
a=N次项系数
-a(x1+x2++xn)=(N-1)次项系数
所以 所有根之和是 (N-1)次项系数 和 N次项系数 之商的相反数。
没有
这个问题是5次以上方程就没有通解了
1829－1831年，伽罗瓦（法，1811－1832年）完成的几篇论文中，首创了现在称为置换群的思想，建立了判别方程根式解的充分必要条件，从而宣告了方程根式解这一经历了300年的难题的彻底解决。
伽罗瓦通过改进拉格朗日的思想，把预解式的构成同置换群联系起来，发展了阿贝尔的思想，把全部问题转化或归结为置换群及其子群结构的分析。这个理论的大意是：每个方程对应于一个含有方程全部根的域（伽罗华域），这个域对应于这个方程根的置换群（伽罗华群）。一个方程的伽罗华群是可解群当且仅当这方程是根式可解的。作为这个理论的推论，可以得出五次以上一般代数方程根式不可解，以及用尺规作图中“三等分任意角”和“倍立方”问题不可能等结论。
微分方程的解根据方程类型而定，以下为具体解法。
一、一阶微分方程
1可分离变量方程
若一阶微分方程y'=f(x,y)可以写成dy/dx=p(x)q(y),则称之为可分离变量方程，分离变量得dy/q(y)=p(x)dx,两边积分∫dy/q)(y)=∫p(x)dx即可得到通解。
2齐次方程
将齐次方程通过代换将其化为可分离变量方程。令u=y/x,即y=ux,则dy/dx=u+xdu/dx,齐次方程dy/dx=φ（y/x）化为u+xdu/dx=φ(u)，分离变量得du/φ(u)-u=dx/x,两边积分
∫du/φ(u)-u=∫dx/x后即得齐次方程的通解。
3一阶线性方程
对于一阶线性方程y'+P(x)y=Q(x)的通解为y= e ^-∫P（x）dx (∫Q(x)e ^∫P（x）dx+C)
4伯努利方程
伯努利方程y'+P(x)y=Q(x)y^n(n∈R,n≠0，1)的通解为z=y^1-n= e ^-∫(1-n)P（x）dx (∫(1-n)Q(x)e ^∫(1-n)P（x）dx dx+C)
二、可降阶的二阶微分方程
y”=f(x)型方程——缺y，y'
对于此类方程，只要连续积分两次，即可得原方程的通解
y”=f(x，y')型方程——缺y
令y'=p，则y''=p'=dp/dx，原方程降为p(x)的一阶方程p'=f(x,p)设其通解为
p=φ(x，C1)，即y'=φ(x，C1)，两边积分即可得原方程的通解y= ∫φ(x，C1)dx+C2
y”=f(y，y’)型方程——缺x
具体变换过程如下：
令y'=p,则y''=p'=dp/dx=pdp/dx,原方程降为一阶方程pdp/dy=f(y,p)
设其通解为p=φ(y，C1),分离变量有 dy /φ(y,C1)=dx，两边积分即得其通解为
∫dy/φ(y,C1)x+C2
三、二阶线性微分方程
二阶常系数齐次线性方程y''+py'+qy=0，根据其特征方程r^2+pr+q=0根不同情况，其通解有以下三种形式：
(1)特征方程r2+pr+q=0有两个不相等的实根 r1,r2时，通解为Y=C1e^r1x+C2e^r2x
(2)特征方程r2+pr+q=0有两个相等的实根r时，通解为Y=(C+C2x)e^rx
(3)特征方程r2+pr+q=0有一对共轭复根r=a±iβ时，通解为Y=e^αx (C1cos βx+C2sin βx)
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