平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。
一、圆的有关性质
1、圆可以看作是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，过不在一条直线上的三点确定一个圆，它是以圆心为对称中心的中心对称图形，又是以每一条直径所在的直线为对称轴的轴对称图形。
2、垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；弦的中垂线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
3、在同圆或等圆中，有如下相等关系：
4、圆的两条平行弦所夹的弧相等。
5、直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径，所对的弧是180°。
6、圆内接四边形对角互补，任何一个外角都等于它的内对角；圆外切四边形的两组对边之和相等。
二、直线和圆的位置关系
1、设圆的半径为r，圆心o到直线l的距离为d，则：
（1）直线l与圆相离；
（2）直线l与圆相切；
（3）直线l与圆相交
2、切线的判定方法除定义外，还有：
（1）和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
（2）过半径外端且和这条半径垂直的直线是圆的切线
3、切线的性质：
（1）切线和圆只有一个公共点；
（2）切线和圆心的距离等于半径；
（3）切线垂直于过切点的半径；
（4）过圆心且垂直于切线的直线必过切点；
（5）过切点且垂直于切线的直线必过圆心
4、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
5、和三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫三角形的内心，它是三角形三个内角平分线的交点，它到三角形三边距离相等其中直角三角形内切圆半径等于二分之一周长与斜边的差
6、三角形的外心是三角形外接圆的圆心，它是三角形三边中垂线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等
1 圆的有关概念
圆、圆心、半径、弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、弦心距、等弧、等圆、同心圆、弓形、弓形的高
说明：
（1）直径是弦,但弦不一定是直径,直径是圆中最长的弦
（2）半圆是弧,但弧不一定是半圆
（3）等弧只能是同圆或等圆中的弧,离开“同圆或等圆”这一条件不存在等弧
（4）等弧的长度必定相等,但长度相等的弧未必是等弧
2 点和圆的位置关系
说明：点和圆的位置关系与点到圆心的距离和半径大小的数量关系是对应的,即知量位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系
3 和圆有关的角
圆心角、圆外角
说明：这两种与圆有关的角,可以通过对比,从（1）角的顶点的位置；（2）角的两边与圆的位置关系,两个方面去把握它们
补充：如果角的顶点在圆内,则称这样的角为圆内角,圆心角是特殊的圆内角；如果角的顶点在圆外,且角的两边都与同一个圆相交,则称这样的角为圆外角
4 圆的有关性质
（1）圆的确定
圆心确定圆的位置半径确定圆的大小
不在同一直线上的三个点确定一个圆
（2）圆的对称性
圆是轴对称图形,任何一条经过圆心的直线都是它的对称轴
圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心
说明：一个圆的对称轴有无数条,对称中心只有一个,一个圆绕圆心旋转任意角度,都能够和原图形重合,即圆还具有旋转不变性
（3）垂径定理
如果一条直线具有(1)经过圆心(2)垂直于弦(3)平分弦(4)平分弦所对的劣弧(5)平分弦所对的优弧,这五个性质的任何两个性质,那么这条直线就具有其余三个性质,即：
垂径定理：(1)(2) (3)(4)(5)
推论1：(1)(3) (2)(4)(5)
(2)(3) (1)(4)(5)
(1)(4)（或(5)） (2)(3)(5)（或(4)）
(1)(3) (2)(4)(5)是“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧”其中的弦必须是非直径的弦,假若弦是直径,那么这两条直径不一定互相垂直
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等
说明：在解决圆的有关问题时,有以下几种常引用的辅助线：
（1）连弦的端点与圆心的半径
（2）作弦心距
（3）连圆心和弦的中点（遇弦的中点时）
（4）连圆心和弧的中点（遇弧的中点时）
初三数学圆知识点总结
一、圆
1、圆的有关性质
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫圆，固定的端点O叫圆心，线段OA叫半径。
由圆的意义可知：
圆上各点到定点（圆心O）的距离等于定长的点都在圆上。
就是说：圆是到定点的距离等于定长的点的集合，圆的内部可以看作是到圆。心的距离小于半径的点的集合。
圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧。
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫半圆，大于半圆的弧叫优弧；小于半圆的弧叫劣弧。由弦及其所对的弧组成的圆形叫弓形。
圆心相同，半径不相等的两个圆叫同心圆。
能够重合的两个圆叫等圆。
同圆或等圆的半径相等。
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。
二、过三点的圆
l、过三点的圆
过三点的圆的作法：利用中垂线找圆心
定理不在同一直线上的三个点确定一个圆。
经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆，外接圆的圆心叫外心，这个三角形叫圆的内接三角形。
2、反证法
反证法的三个步骤：
①假设命题的结论不成立；
②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
③由矛盾得出假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
例如：求证三角形中最多只有一个角是钝角。
证明：设有两个以上是钝角
则两个钝角之和＞180°
与三角形内角和等于180°矛盾。
∴不可能有二个以上是钝角。
即最多只能有一个是钝角。
三、垂直于弦的直径
圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对两条弧。
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一个条弧。
推理2：圆两条平行弦所夹的弧相等。
四、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
实际上，圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。
顶点是圆心的角叫圆心角，从圆心到弦的距离叫弦心距。
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。
推理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
五、圆周角
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。
推理1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推理2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
推理3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
由于以上的定理、推理，所添加辅助线往往是添加能构成直径上的圆周角的辅助线。











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