这个证明属于Ivan Niven。假设pi=a/b,我们定义(对某个n):
f(x) = (x^n) (a-bx)^n / n!
F(x) = f(x) + + (-1)^j f^(2j)(x) + + (-1)^n f^(2n)(x)
这里f^(2j)是f的2j次导数
于是f和F有如下性质(都很容易验证):
1)f(x)是一个整系数多项式除以n!。
2)f(x) = f(Pi - x)
3)f在(0,pi)区间上严格递增,并且x趋于0时f(x)趋于0,
x趋于pi时f(x)趋于pi^n a^n / n!
4)对于0 <= j < n, f的j次导数在0和pi处的值是0。
5)对于j >= n, f的j次导数在0和pi处是整数(由1)可知)。
6)F(0)和F(pi)是整数(由4),5)可知)。
7)F + F'' = f
8)(F'·sin - F·cos)' = f·sin (由7)可知)。
这样,对f·sin从0到pi进行定积分,就是
(F'(pi)sin(pi)-F(pi)cos(pi)) - (F'(0)sin(0)-F(0)cos(0))
=F(pi)+F(0)
由6)可知这是个整数。
问题在于如果把n取得很大,由3)可知f·sin从0到pi进行定积分必须严格大于0严格小于1。矛盾,证毕。
π是正数,但它不是有理数。
π希腊字母 (读作pài)表示圆周率,是一个常数(约等于3141592654),是代表圆周长和直径的比值。它是一个无理数,即无限不循环小数。
在日常生活中,通常都用314代表圆周率去进行近似计算。
π也等于圆形之面积与半径平方之比。是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。 在分析学里,π可以严格地定义为满足sin x = 0的最小正实数x。
扩展资料π的由来
π,在希腊字母中排行第16位,是希腊语περιφρεια(边界、圆周之意)的首字母。尽管在四大古文明里早就有它的身影,但是,π真正作为一个通用常数被重新定义,也不过是近300年的事情。
据史料记载,1631年,π首次出现在数学家威廉奥特瑞德的著作《数学之钥》中;1706年,英国数学家威廉琼斯在他编写的数学教材《新数学导论》里也提到了π。
直到1748年,欧拉的代表作《无穷小分析引论》出版,在这本著作里,欧拉建议用符号“π”来表示圆周率,并且直接在里面使用了π。
在欧拉的积极倡导下,π终于成为了圆周率的代名词。
参考资料:
有必要说明一下,分数都不是无理数,要么是有限的小数,要么是无限不循环小数或整数,而“派”作为一个未知的一个数所以暂时定为无理数(目前没有发现循环)。(圆周率的意义:圆周率,一般以π来表示,是一个在数学及物理学普遍存在的数学常数。它定义为圆形之周长与直径之比。它也等于圆形之面积与半径平方之比。是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。 在分析学上,π可以严格地定义为满足sin(x) = 0的最小正实数x。)
如果π是通过圆的周长与直径的比计算出的比值,那么π是(6+2√3)/3的分数(由于根号3是一个超越数划成一个无限不循环小数31547005383也是超越数)属于圆周率。
如果π是通过正6x2ⁿ边形的周长与对角线或直径的比计算出的比值,那么π是31415926就不属于圆周率了。
首先肯定π是无理数。
其次你的想法有误,π的计算机算法是在π是无理数的基础上构建的方法,不是使用割圆法,不存在π=c/d的问题。
最后是证明,涉及到微积分的内容。
反证法,假设π是有理数,则π=p/q,其中p、q都是整数;
构造函数f(x)
=
(x^n)
(p-qx)^n
/
n!
F(x)=∑(-1)^n
f^(2n)(x)
其中求和上下限分别为0和N,N是一个足够大的正整数,这里用f^(2n)(x)来表示f(x)的2n阶导数。
可以验证
1(F'·sinx
-
F·cosx)'
=
f·sinx;
2F(0)为整数;
3F(π)为整数(在π位整数的假设下)
4F(x)的高阶导数(阶数在1和N-1之间)在0和π的值为0
那么对f·sinx这个函数在[0,π]上积分
有∫
f·sinx
dx
=[
F'(π)sinπ
-
F(π)·cosπ]
-
[F'(0)sin0
-
F(0)·cos0]=F(π)+F(0),按照假设这是一个整数(F(π),F(0)都是整数,所以F(π)+F(0)也是整数)
但是对于f(x)=
(x^n)
(p-qx)^n/
n!,他是(0,pi)区间上严格递增的函数,并且x趋于0时f(x)趋于0,x趋于π时f(x)趋于π^n
p^n
/
n!;因此只要把N取得足够大,就有f·sinx在[0,π]的积分小于1大于0,显然小于1大于0的实数不是整数,故与前面的结论产生了矛盾,因此假设不成立,π
不是有理数,而是无理数。
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