数列极限的有界性是指,如果一个数列有极限,那么数列的所有项的绝对值都小于某个常数
如果把数列对应的点都画在数轴上,有界性是指：这些点都在以原点为圆心的某个圆内,
换句话说,这些点不会跑到无穷远
但反过来就不对了数列有界却未必有极限 很简单的如 an = 1+(-1)^n
概念分析
数列,是有边界的，分为有边界和无边界两类，但这有个限定就是必须在一个方向上才能谈有无边界，比如你现在从你所在地，一直往东走，显然以起点构成一个数列，0公里，1公里，2公里。。。40076公里，到达40076公里就回到了你的起点，但是你还没有到达方向的终点，你又要继续往东走，显然你围绕地球转圈圈也到达不了东方的终点，这构成一个循环数列，他是无界的，边界就就是东方的终点，但是你到达不了那个地方所以是无边界的
再比如你现在从你所在地，一直往南走，显然以起点构成一个数列，0公里，1公里，2公里。。。10019公里，到达10019公里你就到达了南极，南极就是南方的终点，你再也无法向南走了，10019就是整个数列的边界。
现在给你几个数列
。。。-3，-2，-1,0，1,2,3。。。(双向无界,因为你无法找出最大的数，和最小的数，他们是多少，没人知道，所以是无穷的）
1,1/2,1/3，1/4。。。。(单向有界，数列的起点是1，就是他的边界，而另一边，将越来越小，但是不管多么小，都小不过一个数，即0，所以他的边界就是0，并且0最靠进最小数的数）
1,2,2,3,3,3(单向无界）
1，2,2，4,5，4,2（无向）
现在你再去看定义，楼上那个定义显然不完善
什么是有界数列
定义：若存在两个数A,B(设A0)都是 的上界．这表明上界并不是惟一的,下界也是如此．
(2)对于数列 ,如果存在正整数N,当n>N时,总有 ,我们就说数列 往后有界．要注意,往后有界一定是有界的,这是因为在N项之前只有有限多个数 在这有限个数中必有最大的数和最小的数,设 , 那么min(A,α)和max(B,β)就是整个数列 的下界和上界．
(3)有界数列也可以这样叙述：若存在一个正数M,使得 ,就称 是有界数列．或者也可以这么说,若存在原点O的一个M邻域O(O,M),使得所有 ,就称 是有界数列,这种叙述和上面所给出的定义显然是等价的．
无界数列相反
比如An=n就是无界数列,An=1/n是有界数列
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