(1)直线AB垂直于平面α内的直线l,则AB在α内的射影AB'垂直于直线l。
设平面内一直线为L1，e1为其方向向量；
斜线为L2，方向向量为e2，e。为e2在面上的射影向量。则e。=e2cosA。
若e1e。=0则e1e2=0即L1垂直L2。
同理亦可证L1垂直于斜线射影。
扩展资料：
但复数的利用是受限制的，因为它仅能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物体，则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系。19世纪中期，英国数学家哈密尔顿发明了四元数（包括数量部分和向量部分），以代表空间的向量。
他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础．随后，电磁理论的发现者，英国的数学物理学家麦克斯韦把四元数的数量部分和向量部分分开处理，从而创造了大量的向量分析。
三维向量分析的开创，以及同四元数的正式分裂，是英国的居伯斯和海维塞德于19世纪80年代各自独立完成的。他们提出，一个向量不过是四元数的向量部分，但不独立于任何四元数。他们引进了两种类型的乘法，即数量积和向量积。
并把向量代数推广到变向量的向量微积分．从此，向量的方法被引进到分析和解析几何中来，并逐步完善，成为了一套优良的数学工具。
参考资料来源：百度百科-向量
求二面角的大小是考试中经常出现的问题，而用三垂线法作二面角的平面角是求二面角大小的一个重要方法，许多同学在解题过程中由于没有有效地利用三垂线定理（或逆定理）作出二面角的平面角，使得解题受阻．
我们把用三垂线定理（或逆定理）作二面角的平面角的方法称为三垂线法，其作图模型为：
如图1，在二面角－l－中，过平面内一点A作AO⊥平面，垂足为O，过点O作OB⊥l于B（过A点作AB⊥于B），连结AB（或OB），由三垂线定理（或逆定理）知AB⊥l（或OB⊥l），则∠ABO为二面角。—l—的平面角．
作图过程中，作出了两条垂线AO与OB（或AB），后连结AB两点（或OB两点），这一过程可简记为“两垂一连”，其中AO为“第一垂线”．“第一垂线”能否顺利找到或恰当作出是用三垂线法作二面角的平面角的关键，在具体解题过程中要注意以下几点：
1．善于利用图中已有的“第一垂线”
例1 已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC，A1在底面ABC的射影恰为AC的中点M，又知AA1与底面ABC所成的角为60°．
⑴求证：BC⊥平面AA1CC1；
⑵求二面角B一AA1—C的大小．
剖析：注意该题的第⑴问，事实上本题已经暗示了BC就是我们要寻求的“第一垂线”．
略解2 A1A与底面AB成的角为60°，所以∠A1AC=60°，又M是AC中点，所以△AA1C是正三角形，作CN⊥AA1于N，点N为A1A的中点，连结BN，由BC⊥平面AA1CC1，BN⊥AA1，则∠BNC为二面角B一AA1一C的平面角．设AC=BC=a，正△AA1C的边长为a，所以，在Rt△BNC中，tan∠BNC=，即
例2 如图3，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=
⑴求四棱锥S—ABCD的体积；
⑵求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．
剖析：由SA⊥面ABCD及∠ABC=90°，不难发现，BC即为“第一垂线”，但是，本题要作二面角的平面角，还需首先作出二面角的棱．
略解2 延长BA、CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角的棱，因为AD∥BC，BC=2AD，所以EA=AB=SA，所以SE⊥SB，因为SA⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交线，又BC⊥EB，所以BC⊥面SEB，故SB是CS在面SEB上的射影，所以CS⊥SE，所以∠BSC是所求二面角的平面角，因为，BC=1，BC⊥SB，因为tan∠BSC=，即所求二面角的正切值为．
2．借助第三个平面，作“第一垂线”
例3 如图4，正三棱柱ABC—A1B1C1的底边长为a，侧棱长为，若经过对角线AB1且与对角线BC1平行的平面交上底面一边A1C1于点D．
⑴确定点D的位置，并证明你的结论；
⑵求二面角A1—AB1—D的大小．
剖析：由线面平行的性质定理及三角形中位线性质，易知D是A1C1中点．二面角A1—AB1一D的放置属于非常规位置的图形，但是，容易发现，平面A1B1C1过点D且与平面A1AB1垂直，这样的平面相对于二面角的两个平面而言，我们称为第三个平面．过D作DF⊥A1B1，由面面垂直的性质知，DF⊥面A1AB1，即DF为我们要作的“第一垂线”．
略解2 在平面A1B1C1内，作CF⊥A1B1于F，连DC，由三垂线定理可证AB1⊥DG，∠DGF就是二面角A1—AB1一D的平面角，在正△A1B1C1中，因为D是A1C1中点，A1B1=a，所以，，在Rt△DFG，可求得∠DCF=45°．
3．利用特殊图形的定义、性质作“第一垂线”
例4 已知：Rt△ABC的斜边BC在平面内，AB、AC分别与平面。成30°和45°角，求平面与△ABC所在平面所成二面角的大小．
剖析：本题中没有相对于二面角的两个平面的第三个平面可以借助，但是，我们注意到AB、AC与平面所成的角均已给出，只要过A作AO⊥于O，就可以同时找到AB、AC在平面内的射影，无疑这样得到的“第一垂线AO有着非常特殊的位置，有利于二面角大小的计算．
解：作AO⊥于O，OD⊥BC于D，连OB，AD，OC，由三垂线定理得：AD⊥BC，所以∠ADO是二面角A—BC—O的平面角，令AO=x，在Rt△AOB中，∠ABO=30°，所以AB=2x，在Rt△AOC中，∠ACO=45°，所以，因为∠BAC=90°，所以，所以。
在Rt△AOD中，，所以∠ADO=60°，所以三角形ABC与面成60°或120°的二面角．
三垂线定理：在平面内的一条直线,如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直
“用三垂线定理找二面角”方法俗称“作一条连一条法”：
首先确定好两个平面（设交线l）,找到（一般有现成的）一条垂直于其中一个平面的直线（与另一平面有个交点）,设垂足为H,交点为P
下面是关键步骤：过H作交线的垂线（作一条）,与交线交于Q,连接PQ（连一条）
HQ⊥l =>PQ⊥l（这步就是应用了三垂线定理^ ^） ,∠PQH就是二面角的平面角
线射垂，线斜垂；线斜垂，线射垂
（1）用线面垂直证明
已知：如图，PO在α上的射影OA垂直于a
求证：OP⊥a
证明：过P做PA垂直于α
∵PA⊥α
且a∈α
∴a⊥PA
又a⊥OA
OA∩PA=A
∴a⊥平面POA
∴a⊥OP
（2）用向量证明三垂线定理
1已知：PO，PA分别是平面α的垂线，斜线，OA是PA在α内的射影，b包含于α，且b垂直于OA，求证：b垂直于PA
证明：∵PO垂直于α，∴PO垂直于b，又∵OA垂直b，向量PA=（向量PO+向量OA）
∴向量PA×b=（向量PO+向量OA）×b=（向量PO×b）+（向量OA×b
）=O，∴PA⊥b。
2已知三个平面OAB，OBC，OAC相交于一点O，∠AOB=∠BOC=∠COA=60度，求交线OA与平面OBC所成的角。
解：∵向量OA=（向量OB+向量AB），O是内心，又∵AB=BC=CA，∴OA与平面OBC所成的角是30°。
使用
1,三垂线定理描述的是PO(斜线),AO(射影),a(直线)之间的垂直关系
2,a与PO可以相交,也可以异面
3,三垂线定理的实质是空间内的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理关于三垂线定理的应用,关键是找出平面(基准面)的垂线至于射影则是由垂足,斜足来确定的,因而是第二位的
从三垂线定理的证明得到证明a⊥b的一个程序:一垂,二射,三证即第一,找平面(基准面)及平面垂线第二,找射影线,这时a,b便成平面上的一条直线与一条斜线第三,证明射影线与直线a垂直,从而得出a与b垂直
注：
1°定理中四条线均针对同一平面而言
2°应用定理关键是找"基准面"这个参照系
说明
（1）线射垂直（平面问题）⇒线斜垂直（空间问题）；
（2）证明线线垂直的方法：定义法；线线垂直判定定理；三垂线定理；
（3）三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间的垂直关系。
（4）直线a与PO可以相交，也可以异面。
（5）三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。（6）可用来解决异面直线所成的角和二面角的平面角等问题。
你们现在学的课本应该是分选修和必修的人教版吧，这是在教材改版前，在二面角和线面角涉及的内容，但是现在课本上已经把三垂线定理删除了，理科的选修教材中会有用空间向量发求二面角或线面角，那么在必修二中涉及求解二面角或者线面角时，有些学校老师可能会给你们补充上。最主要的原因是立体几何的大题，现在降低要求了，文科只考垂直和平行的证明，理科除了考垂直和平行，已经把文科多考了二面角，所以为了也给理科生降低难度，就把三垂线定理去了，改成用空间向量来解题
三垂线定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。
参考资料：
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三垂线就是所谓的垂直于斜线就垂直于垂线，垂直于垂线就垂直于斜线，而我只用了一个定理来代替了它：垂直于平面内两条相交直线，哪么就垂直于该平面。可以说，三垂线只是属于这个定理的一部分而已，而有些时候根本没发用，因为你用三垂线老是要找什么所谓的斜线了，垂线了，很麻烦，而用：垂直于平面内两条相交直线，哪么就垂直于该平面，垂直于该平面就垂直于该平面内所有直线。就已经足够了。
书上是这样说的：过平面a上一点B作AB垂直于平面a，在过点A作平面a的斜线交平面a于C点，连接BC，然后过C点在a平面上作直线CD，若直线CD垂直于斜线AC，哪么CD就垂直于BC，同理若直线CD垂直于BC哪么，CD就垂直于AC。
教学课题:三垂线定理复习
教学目标:使学生进一步明确三垂线定理及其逆定理的应用,进一步培养学生分析问题,解决问题的能力,从而提高学生的识图能力
教学重点:三垂线定理的应用
教学难点:三垂线定理图形的识别
教学过程:
三垂线定理的主要作用是用来证明直线与直线的垂直,它是由线面垂直推证线线垂直的进化,在应用三垂线定理证明线线垂直时关健在于如何寻找三垂线定理的基本图形"一面四线"
〖基础练习〗
〖练习1〗如图:已知点O,B以及直线a在平面α内,点A在平面外,给出如下三个结论:①AB⊥α;②OA⊥a;③OB⊥a把其中两个作为条件,另一个作为结论,共可组成多少个真命题,请把这些真命题写出来
注:通过这一练习,熟悉三垂线定理及其逆定理所反映的关系,它是三个垂直关系的相互转化
三垂线定理的基本要素:
一面:基础平面
四线:斜线,垂线,射影,面内直线
注:三垂线定理及其逆定理实际上是"面内直线垂直于射影"和"面内直线垂直于斜线"的一种互推关系
定理的符号表示:
三垂线定理:
∵AB⊥平面α,aα,a⊥OB
∴a⊥OA
三垂线定理的逆定理:
∵AB⊥平面α,aα,a⊥OA
∴a⊥OB
以上就是关于试用向量证明三垂线定理及其逆定理全部的内容，包括:试用向量证明三垂线定理及其逆定理、平面角的三垂线法、如何用三垂线定理去求二面角等相关内容解答，如果想了解更多相关内容，可以关注我们，你们的支持是我们更新的动力！
