令u=x+y v=y/x
则 x=u/(1+v) y=uv/(1+v)
f(u,v)=u(1-v)/(1+v)
f(x,y)=x(1-y)/(1+y)
f'x(x,y)=(1-y)/(1+y)
步骤如下：
1在方程两边先对X求一阶偏导得出Z关于X的一阶偏导,然后再解出Z关于X的一阶偏导。
2在在原来求过一阶偏导的方程两边对X再求一次偏导此方程当中一定既含有X的一阶偏导,也含有二阶偏导最后把1中解得的一阶偏导代入其中,就能得出只含有二阶偏导的方程解出即可。
1、x方向的偏导数：
（1）设有二元函数 z=f(x,y) ，点(x0,y0)是其定义域D 内一点。把 y 固定在 y0而让 x 在 x0 有增量△x ，相应地函数 z=f(x,y) 有增量（称为对 x 的偏增量）△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。
（2）如果 △z 与 △x 之比当 △x→0 时的极限存在，那么此极限值称为函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)处对 x 的偏导数，记作 f'x(x0,y0)或。函数 z=f(x,y) 在(x0,y0)处对 x 的偏导数，实际上就是把 y 固定在 y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在 x0处的导数。
2、y方向的偏导数：
同样，把 x 固定在 x0，让 y 有增量 △y ，如果极限存在那么此极限称为函数 z=(x,y) 在 (x0,y0)处对 y 的偏导数。记作f'y(x0,y0)。
（资料来源：百度百科：偏导数）
步骤如下：
1、在方程两边先对X求一阶偏导得出Z关于X的一阶偏导,然后再解出Z关于X的一阶偏导。
2、再在原来求过一阶偏导的方程两边对X再求一次偏导。此方程当中一定既含有X的一阶偏导,也含有二阶偏导。最后把1中解得的一阶偏导代入其中,就能得出只含有二阶偏导的方程，解出即可。
3、举例：
4、解答：
1）先求dz/dx，两边对x求偏导，2zdz/dx-y+dz/dx=0，dz/dx=y/(2z+1)；
2）再求dz/dy，同理，dz/dy=x/(2z+1)；
3）再一次求偏导，d^2z/dxdy=d/dx(dz/dy)=d/dx[x/(2z+1)]
dx/dx (2z+1) - xd(2z+1)/dx
= ----------------------------------------------
(2z+1)^2
(2z+1)^2- 2xy
= ----------------------
(2z+1)^3
：
1、在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。
2、偏导数的表示符号为:∂，偏导数反映的是函数沿坐标轴正方向的变化率。
3、在一元函数中，导数就是函数的变化率。对于二元函数研究它的“变化率”，由于自变量多了一个，情况就要复杂的多。
4、在 xOy 平面内，当动点由 P(x0,y0) 沿不同方向变化时，函数 f(x,y) 的变化快慢一般说来是不同的，因此就需要研究 f(x,y) 在 (x0,y0) 点处沿不同方向的变化率。
5、在这里我们只学习函数 f(x,y) 沿着平行于 x 轴和平行于 y 轴两个特殊方位变动时， f(x,y) 的变化率。
参考资料：
1 可以有间断，间断点处某些方向的导数不存在，各自连续的区间，当然可以求导，求的是偏微分
2 连续性的定义就是 该点的极限值等于该点的函数值，你说的情况，判断是否连续，只需要看
lim (x->0,y->0) f(x,y) 是否等于f(0,0)即可，不过这个和一元函数不同的是，这个极限具有方向性，因为有两个变量。你的这个函数在0,0的极限是0，等于函数值，所以连续
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