罗巴切夫斯基(1792-1856)俄国数学家，非欧几何的创始人之一。生于诺夫哥罗得即现在高尔基城。10岁进入中学，15岁进喀山大学，19岁获硕士学位，24岁任喀山大学数学教授。1826年2月6日罗巴切夫斯基在喀山大学提出了用法文写的论文《几何学原理简述及平行线定理的严格证明》。人们把这一天公认为是新几何的诞生日。1827年7月30日被选为喀山大学校长，一直连任到1846年。1829年《喀山通报》第一次登载了他的几何论述“关于几何学原理”。他的主要功绩是改变了欧几里得几何中的平行公理(即第五公设)，提出了一种新的几何学，称为“双曲几何学”或罗巴切夫斯基几何学。但是它和传统的欧氏几何发生了矛盾，所以最初发表时不能被人理解，甚至被认为是荒谬的，因而在他生前这种几何思想未被人们重视。1856年2月24日罗巴切夫斯基逝世，1893年在他诞生100周年之际，为了纪念他在数学史上的杰出贡献，喀山大学树起了他的纪念像。1896年9月1日又在喀山大学对面树起了罗巴切夫斯基的纪念碑，将他的名字载入世界数学的光辉史册。
罗巴切夫斯基几何（双曲几何）是非欧几何的一种，它在天体理论有着广泛的应用：
在这里，我们从双曲几何一直说到著名的Gauss-Bonnet-Chern定理，我们还要提 到一个人，那就是伟大的Riemann，正是他创立了狭义的Riemanan几何（Riemann Geometry），然后又把这个结果纳入他创立的极度深邃的“广义Riemanan几何 （Riemannian Geometry，分清楚与Riemann Geometry的区别，它们形式上差别是 “ian”，实质上的差别却是“常曲率”与“任意曲率”的差别），推广了Gauss 的曲面内蕴几何学，定义了抽象Riemann度量，仅仅在2维情形就直接摆脱了Euclidean空间的嵌入研究，使曲面的研究不再等价于3维Euclidean空间中的曲面 研究。著名的Poincare上半平面上定义了Poincare度量，它无法在3维Euclidean 空间中实现嵌入，Poincare度量就是Riemann度量的一种。 正如Milnor的所言，双曲几何在Riemann几何出现前只是没手没脚的躯干而已。Riemann让这个躯干成为正常人体。 Riemanan之后，Beltrami使伪球面上实现了局部的双曲几何，Klein在开单位圆（ 不包括圆周）上实现了整体的双曲几何，而Poincare在上半平面（不包括实数轴 ）上实现了整体双曲几何。容易证明，单位圆和上半平面存在共形映射，而单位 圆周和实数轴作为两个域的边界，也一一对应。在单位圆上赋予Poincare度量（Poincare metric），就可以计算出它的截面曲率为-1，证明双曲几何的空间曲 率小于零。正如我们所知道的，双曲几何从Poincare去世后发展至今，最牛的人 物是Thurston，Fields奖获得者。此外，这个学科的发展很缓慢，足见其艰难，也足见Poincare之伟大。 大名鼎鼎的Schwarzschild早在26岁时就考虑过宇宙如果为弯曲的话，曲率半径应 该为多少，他在19世纪末时就说：“本世纪有人在Euclid几何之外提出non- Euclid几何，其主要实例就是球面空间和伪球面空间。我们如果知道可能具有有限曲率半径的球面和伪球面几何中世界是什么样子，我们会感到惊讶。如果有这种可能，你会感到自己处在几何学的仙境里；而且如此美妙的仙境会不会变为现实，我们也无法知道。” 他还应用当时的天文学数据估算了3维空间曲率半径的极限，认为双曲空间与球形空间的曲率半径的下限分别为64光年和1600光年。 我们当然知道，在1900年的时候，天文测距技术还是不完善的，实际上Einstein 提出静态宇宙学模型时（1917年）对宇宙大小的认识还是很模糊的，甚至于Hubble提出膨胀宇宙学说时，由于造父变星光度的分析有错误，使得宇宙的观测也相应出现严重失误。因此，在Schwarzschild那个时代，对宇宙有着如此的梦幻与计算，实在是非常了不起的。他的思想已经深入到双曲几何和椭圆几何中去了。 说个题外话，现代微分几何学家处理三维问题和四维问题时面对的困难相差时很大的，因为三维空间Ricci曲率如果为零，则Riemann截面曲率就为零，而四维空间没有这个性质。但是在Schwarzschild那时，他肯定无法考虑到这个，所以如果 他牛到直接考虑四维时空，也照样提刀上阵：） 我们也知道，Lobachevskii在提出双曲几何时就已经想象到它或许会在宇宙中实现，他说：“同时，不能不重视Laplace的见解：我们所见到的星星饿银河只属于天体的一部分，就像微弱的、若隐若现的斑点，类似于我们在猎户星座、摩羯星座及其他星座中所看到的一样。于是，且不说在想象中空间可以无限地延伸，自然界本身向我们显示的距离，甚至同我们的地球到恒星的距离相比，后者也因微小而可以忽略。此外，不能进而断言，假定直线的度量不依赖于角——这一假设，许多几何学家想采纳它作为毋需证明的严格的真理——可能在我们过渡到可见世界的极限之前，就会发现它有可以觉察到的错误。” 英国的Clifford实际上也设想过这个问题，但是到了Schwarzschild时，这个梦想被继续深化了。这样我们就可以理解为什么Einstein一搞出广义相对论，Schwarzschild就给出第一个精确解，人家早就是老手了，学起这些新的几何学也 时易如反掌，再加上解偏微分方程的特殊能力，使得Einstein对这个结果赞赏不已，比起6年后对待的Friedman，可谓无比真诚了。
这个内角和小于180度是罗氏几何的公理之一。
罗氏几何（非欧几何的一种）和欧氏几何相对应，在欧式几何中，有五条基本公里，比如两点间以直线为最短，等等。因为这个几何体系符合我们日常生活中的平面情形，所以也就叫平面几何。但第五条公理三角形内角和=180度或者说过直线外一点只能做一条直线与已知直线平行，看上去可以用其他四条公理证明出来。历史上也确实有不少数学家曾经致力于证明这个结论，但都没有成功。后来有个叫鲍耶的好像是匈牙利人，就是假设了三角形内角和小于180度，并且由此搞了一个体系，但当时的数学家们比较保守，觉得你这和大师的说法相差这么多，我们不接受。鲍耶同学郁闷了，似乎他的工作也没有得到认可就英年早逝了。
当时的媒体和信息传播速度不像今天，鲍耶的工作很少有人知道。到了后来，应该是18世纪，罗巴切夫斯基又独立的在平面几何的四条公理+罗氏第五公理基础上建立了这个非欧几何。如果印象不错，这非欧几何也叫鲍耶-罗巴切夫斯基几何。
这个体系在后来的航海和大地测绘中都有应用。
而且，三角形内角和大于180度也可以建立一套体系。但不知道有何种应用。
这个需要啥原创？公理还要证明么？我只是告诉了一个事实，数学家们说第五公理不能用前四个公理证明，它是独立的。
黎曼几何以欧几里得几何和种种非欧几何作为其特例。例如：定义度量（a是常数），则当a＝0时是普通的欧几里得几何，当a＞0时 ，就是椭圆几何 ，而当a＜0时为双曲几何（罗巴切夫斯基几何）。
黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。他首先发展了空间的概念，提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量 ，空间中的点可用n个实数（x1，……，xn）作为坐标来描述。这是现代n维微分流形的原始形式，为用抽象空间描述自然现象奠定了基础。这种空间上的几何学应基于无限邻近两点（x1，x2，……xn）与（x1＋dx1，……xn＋dxn）之间的距离，用微分弧长度平方所确定的正定二次型理解度量。亦即 （gij）是由函数构成的正定对称矩阵。这便是黎曼度量。
黎曼认识到度量只是加到流形上的一种结构，并且在同一流形上可以有许多不同的度量。黎曼以前的数学家仅知道三维欧几里得空间E3中的曲面S上存在诱导度量ds2＝Edu2＋2Fdudv＋Gdv2，即第一基本形式，而并未认识到S还可以有独立于三维欧几里得几何赋予的度量结构。黎曼意识到区分诱导度量和独立的黎曼度量的重要性，从而摆脱了经典微分几何曲面论中局限于诱导度量的束缚，创立了黎曼几何学。
在欧式几何里长规三角形的边长是线段，那么在非欧几何里三角形的边长还是线段。
非欧氏几何和欧氏几何最大的区别就在于第5公理。前面4个公理都是相同的。
非欧几里得几何是指不同于欧几里得几何学的几何体系，简称为非欧几何，一般是指罗巴切夫斯基几何(双曲几何)和黎曼的椭圆几何。它们与欧氏几何最主要的区别在于公理体系中采用了不同的平行定理。
从古希腊时代到公元1800年间，许多数学家都尝试用欧几里得几何中的其他公理来证明欧几里得的平行公理，但是结果都归于失败。19世纪，德国数学家高斯、俄国数学家罗巴切夫斯基、匈牙利数学家波尔约等人各自独立地认识到这种证明是不可能的。也就是说，平行公理是独立于其他公理的，并且可以用不同的“平行公理”来替代它。高斯关于非欧几何的信件和笔记在他生前一直没有公开发表，只是在他1855年去世后出版时才引起人们的注意 。罗巴切夫斯基和波尔约分别在1830年前后发表了他们关于非欧几何的理论。在这种几何里，罗巴切夫斯基平行公理替代了欧几里得平行公理，即在一个平面上，过已知直线外一点至少有两条直线与该直线不相交。由此可演绎出一系列全无矛盾的结论，并且可以得出三角形的内角和小于两直角。罗氏几何中有许多不同于欧氏几何的定理。
继罗氏几何后，德国数学家黎曼在1854年又提出了既不是欧氏几何也不是罗氏几何的新的非欧几何。这种几何采用如下公理替代欧几里得平行公理：同一平面上的任何两直线一定相交。同时，还对欧氏几何的其他公理做了部分改动。在这种几何里，三角形的内角和大于两直角。人们把这种几何称为椭圆几何。
直到1868年，意大利数学家贝尔特拉米在他出版的《非欧几何解释的尝试》中，证明了非欧平面几何可以局部地在欧氏空间中实现 。1871年，德国数学家克莱因认识到从射影几何中可以推导度量几何，并建立了非欧几何模型。这样，非欧几何的相容性问题就归结为欧氏几何的相容性问题，由此非欧几何得到了普遍的承认。
条件可以有如下几种： 1、在无穷远处。这个是一种定义而已，可以说是永远也没有相交的可能。 2、在错误的条件下。只要是错误的条件下，一切皆有可能。平行线在错误的条件下本来就相交，或者有很多相交点。 3、在新的平行线的定义下。假如这里的平行线定义和传统欧几里德几何学定义不同，相交是完全可能的。 ……
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