证明每个无限集必包含可列子集

证明：

设T为一个无限集，取a1 ∈T。

因为T为无限集，所以必存在a2 ∈ T，并且a2 ≠ a1;

同理存在a3 ∈ T，并且a3 ≠ a2 ≠ a1;

以此类推，可得S = {a1,a2,a3,a4,an} 为可列集，并且S 含于 T。

得证。

当我们面对“无穷”问题时，首先要提醒读者建立以下几个基本观点：

1)有限到无限是从量变到质变；

2)有限集的性质不能推广到无限，反之亦然；

3)要依靠理性的论证，而不是直观和常识来认识无限。

判断两个有限集合中元素的“多少”，其实仍然是采用“数数”的方法。“数数”的过程其实就是建立“一一对应”的映射的过程。

扩展资料：

任意无穷集合，必含有可数子集。

证明： 设A为一无穷集合，从A中取出一个元素，命名为  ，由于A是无穷集合，从  中可以取出元素  ，而  也是非空集合，所以又可取元素  。

由于A是无穷集合，所以可以一直取下去，从而得到A的可数子集。

是否存在集合S，使得  。即能否找到一实数集的子集，它是不可数集合，但又不能与实数集合建立一一对应的映射关系。这就是康托提出的“连续统假设”。

无限集的基数和可数集的基数不一样。

1、无限集的基数把描述一个集合元素个数多少的量集叫做这个集合的基数。

2、可数基数是一种无穷基数，指可数集的基数即自然数集合ω=1，2，n的基数，记为N0。

有限集合，也称有穷集合是由有限个元素组成的集合。有限集合的元素是可以“编号”的，也就是，可以把它的元素编上号码，写成：a1，a2，a3，an，并且所有的元素都已数到，从1到n的各个自然数全被用过而且不同的元素得到了不同的号码。

无限集合亦称无穷集合，是既不是空集，又不与Mn＝｛1，2，…，n｝，n∈N对等的集合。无限的元素不能被“编号”。

扩展资料：

有限集合不能与它的任何真子集合或真母集合对等。每一个非空有限集合与自然数串的一个线段而且仅只一个线段对等。有限集合的任一子集合是有限集合，无限集合的任一母集合是无限集合。有限集合A的元素数永远大于它的真子集合B的元素数。

全部自然数组成的集合N，以及含有与N对等的子集合的集合，全是无限集合。每一个无限集合必含有一个可排集合。每一个无限集合M必与其某一个真子集合对等。

楼上关于可数集的定义都搞混了……

可数集，数学里的概念，指的是能和自然数集N建立一一对应关系的集合。

什么叫一一对应？就是双射关系，既要是单射，也要是满射。

单射指的是，对于一个映射关系f:A->B，任取x,y属于集合A，且x≠y，必然有f(x)!=f(y)，且f(x)，f(y)属于B

满射指的是，对于任何一个元素x属于B，必然有一个A中的元素与之对应

既单又满，双射代表两个集合A和B之间的元素是一一对应的。

可数集和自然数集的元素一一对应，那可数集当然是无限集了；但是你说无限集一定是可数集那就错了，举个例子，实数集是无限集吗，但不是可数集。

关于可数集的定义可以查看百度百科网页链接

集合A称为有限集，如果存在集合{0，1，2，…，n-1}（自然数n）到A，或A到该集合的双射；否则称A为无限集。

就是说一个集合的元素能够和自然数集构成一个双射，那么，它 就是有限集；就像我们可以给一个集合B构造一个数列An，使得A1，A2都属于这个集，且A1∪A2∪=B,那么B就是有限集

，反之则是 无限集

有限集和无限集

定理1 任何有限集的任何子集为有限集。

定理2 任何含有无限子集的集合必定是无限集。

有限集是指自然数集(1，2，3，……，n)中，能找到一个n与该集合对应就是有限集。

可数集就是指能与自然数集全体一一对应的集合。是无限集中的一种。

不可数集就是指不能与自然数集一一对应的无限集。

可数集是最小的无限集。

比如1到10中的：

自然数，整数和偶数，素数等都是有限集。有理数和代数数等都是可数集，实数和无理数等都是不可数集。

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