常见函数类型有：一次函数、二次函数、三次函数、四次函数；基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和常数函数。
精确地说，设X为一个非空集合，Y为非空数集，f为对应法则，若对X中的每个x，按对应法则f，使Y中存在唯一的一个元素y与之对应，就称对应法则f是X上的一个函数。
函数有许多种，在高中阶段的函数包括：
1、一次函数y=ax+b
2、二次函数y=ax2+b
3、指数函数
4、对数函数
5、幂函数
6、三角函数
初中函数的概念是：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。
函数的三种表示法
1解析法:两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。
2列表法:用列表的方法来表示两个变量之间函数关系的方法叫做列表法。这种方法的优点是通过表格中已知自变量的值，可以直接读出与之对应的函数值;缺点是只能列出部分对应值，难以反映函数的全貌。
3图像法:把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。
这种表示函数关系的方法叫做图象法。这种方法的优点是通过函数图象可以直观、形象地把函数关系表示出来;缺点是从图象观察得到的数量关系是近似的。
函数（function）表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。函数f中对应输入值的输出值x的标准符号为f(x)。包含某个函数所有的输入值的集合被称作这个函数的定义域，包含所有的输出值的集合被称作值域。若先定义映射的概念，可以简单定义函数为，定义在非空数集之间的映射称为函数。
函数是位于数学领域中的一种对应关系，是从非空数集A到实数集B的对应。简单地说，甲随着乙变，甲就是乙的函数。精确地说，设X是一个非空集合，Y是非空数集 ，f是个对应法则 ，若对X中的每个x，按对应法则f，使Y中存在唯一的一个元素y与之对应 ，就称对应法则f是X上的一个函数，记作y=f（x），称X为函数f（x）的定义域，集合{y|y=f（x），x∈X}为其值域（值域是Y的子集），x叫做自变量，y叫做因变量，习惯上也说y是x的函数。对应法则、定义域是函数的两要素。
注意：对应法则并不等同于函数，因为运算法则并不依赖于某个定义域，它可以作用于任何一个非空集合，如f()=2×+1，x={1,2},y={3,5},u={3,4},v={7,9},则f(x)=y,f(u)=v。由此可见，对应法则是独立于特定定义域之外的一个运算法则。运算法则或者称对应法则可以作为算子独立存在如微分算子，而函数则必须有其特定的定义域才有意义，否则不能称之为函数。
函数的定义
函数的传统定义：
设在某变化过程中有两个变量x、y,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就称y是x的函数,x叫做自变量
我们将自变量x取值的集合叫做函数的定义域,和自变量x对应的y的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域
函数的近代定义：
设A,B都是非空的数的集合,f：x→y是从A到B的一个对应法则,那么从A到B的映射f：A→B就叫做函数,记作y=f(x),其中x∈A,y∈B,原象集合A叫做函数f(x)的定义域,象集合C叫做函数f(x)的值域,显然有CB
符号y=f(x)即是“y是x的函数”的数学表示,应理解为：
x是自变量,它是法则所施加的对象；f是对应法则,它可以是一个或几个解析式,可以是图象、表格,也可以是文字描述；y是自变量的函数,当x为允许的某一具体值时,相应的y值为与该自变量值对应的函数值,当f用解析式表示时,则解析式为函数解析式y=f(x)仅仅是函数符号,不是表示“y等于f与x的乘积”,f(x)也不一定是解析式,在研究函数时,除用符号f(x)外,还常用g(x),F(x),G(x)等符号来表示
对函数概念的理解
函数的两个定义本质是一致的,只是叙述概念的出发点不同,传统定义是从运动变化的观点出发,而近代定义是从集合、映射的观点出发这样,就不难得知函数实质是从非空数集A到非空数集B的一个特殊的映射
由函数的近代定义可知,函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f其中核心是对应法则f,它是函数关系的本质特征y＝f（x）的意义是：y等于x在法则f下的对应值,而f是“对应”得以实现的方法和途径,是联系x与y的纽带,所以是函数的核心至于用什么字母表示自变量、因变量和对应法则,这是无关紧要的
函数的定义域（即原象集合）是自变量x的取值范围,它是构成函数的一个不可缺少的组成部分当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则完全确定之后,函数的值域也就随之确定了因此,定义域和对应法则为“y是x的函数”的两个基本条件,缺一不可只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一个函数,这就是说：
1）定义域不同,两个函数也就不同；
2）对应法则不同,两个函数也是不同的；
3）即使是定义域和值域都分别相同的两个函数,它们也不一定是同一函数,因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则
例如：函数y＝x＋1与y＝2x＋1,其定义域都是x∈R,值域都为y∈R也就是说,这两个函数的定义域和值域相同,但它们的对应法则是不同的,因此不能说这两个函数是同一个函数
定义域A,值域C以及从A到C的对应法则f,称为函数的三要素由于值域可由定义域和对应法则唯一确定两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时,才是同一函数
例如：在①y＝x与 ,② 与 ,③y＝x＋1与 ,④y＝x0与y＝1,⑤y＝｜x｜与 这五组函数中,只有⑤表示同一函数
f（x）与f（a）的区别与联系
f（a）表示当x＝a时函数f（x）的值,是一个常量而f（x）是自变量x的函数,在一般情况下,它是一个变量,f（a）是f（x）的一个特殊值如一次函数f（x）＝3x＋4,当x＝8时,f（8）＝3×8＋4＝28是一常数
当法则所施加的对象与解析式中表述的对象不一致时,该解析式不能正确施加法则
比如f（x）＝x2＋1,左端是对x施加法则,右端也是关于x的解析式,这时此式是以x为自变量的函数的解析式；而对于f（x＋1）＝3x2＋2x＋1,左端表示对x＋1施加法则,右端是关于x的解析式,二者并不统一,这时此式既不是关于x的函数解析式,也不是关于x＋1的函数解析式
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