刘维尔定理
若 在复平面上解析，且有界，则 必为常数．
证 因为 在复平面上有界，所以，定存在 ，使对复平面上任意的点均有 ．
设 为复平面上的任意一点，作 ，于是有
在（4.17）式中，令 便得
即对任意小的正数 有 ，故 ，从而有 ．由点 在复平面上的任意性即得 复平面
故 必为常数．
此定理被称为刘维尔定理．它的意义在于：⑴揭示了解析函数的一个性质．⑵提供了一种证明解析函数为常数的方法．不仅如此，利用该定理还可以证明代数基本定理．
刘维尔（Liouville）定理若f(z)在全平面C上全纯且有界，则f为常数。 证明若|f(z)|≤M，当z∈C。固定a∈C，作D(a,R)，由柯西不等式得到|f`(a)|≤M/R。令R→∞，得到f`(a)=0。由于a为C中任意一点，故f`(z)=0对任意z∈C都成立，因此f(z)在C上为常数。
