说到最x的数学公式(这里x一般可以随意填写)，人们一般会谈到欧拉关于复指数的恒等式:
因为这个公式联系了世界上最重要的五个数字:0代表一无所有，1代表一，π代表圆周率，自然对数的底数E和虚数单位I，所以这个公式如此简洁，但在数学中又如此重要，任何研究过欧拉公式的人都惊叹于欧拉思想的深刻。要理解它，首先要从“数系”的展开说起。
在人们的生产生活过程中，自然数逐渐对数字产生了需求。为了统计牲畜，比如牛羊，自然数的概念就诞生了。自然数都是正整数，也就是一个集合{1，2，3，4…}(有的教材还把0归为自然数)。
这组自然数不适合加法。闭，也就是说，如果A和B都是自然数，那么A+B也是自然数。比如2+3=5，4+6=10。但是，自然数并不封闭于减法，即如果A和B都是自然数，A-B不一定是自然数。比如3-2=1还是自然数，5-8=-3就不是了。
也许曾经有一段时间人们认为5-8是没有意义的。就好像“我有五只羊，却要杀八只羊来招待客人。还剩下几只羊？”这种问题根本不会发生。
但其实只要借别人家的三只羊就可以满足要求了。这时，我们拥有的羊变成了三只欠债的羊。这意味着-3。于是，人们发明了零和负整数。正整数、零和负整数组成一组整数{…-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4 …}
整数的加减是封闭的，乘法是封闭的，除法是不封闭的。也就是说，如果A和B都是整数，A÷B不一定是整数。比如4÷2=2是整数，3÷2=1.5不是。
有理数为了解决闭除法的问题，人们发明了分数。4000年前，古埃及人和希腊人使用分数。公元前5世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯将整数和分数结合起来，提出了有理数的概念。
有理数是可以写成两个整数之比的数。写作是
这样有理数(分母不能为零)的加减乘除就封闭了。毕达哥拉斯等人陶醉于他们的成就，他们认为所有的数都是有理数。但很快，学派内部的学者希帕索斯发现了问题:如果一个直角三角形的两条右边都是1，那么斜边就不能用两个整数的比值来表示。这导致了第一次数学危机。
问题是有理数并不封闭于根运算。比如√4=2是有理数，而√2不是。
经过对实数的长期研究，人们终于发现不仅有可以表示为两个整数之比的有理数，还有不能表示为整数之比的无限无环小数:无理数。人们把有理数和无理数结合起来，称之为实数。与实数轴上的点一一对应。
在数轴上，我们不仅可以找到整数1，2，3…，还可以找到分数2/3，以及E，π，√2等无理数。然而，数字系统并没有到此为止。因为人们发现√-1在实数范围内还是找不到答案。有人可能会说:这个数字本身就不存在！任何数的平方一定是非负的，那么一个数的平方怎么可能等于-1呢？
复杂的数学家不这么认为。他们认为这个数字就像5-8一样，他们会在某个时候找到它的用处。的确，这个数字在当今的物理和数学中起着非常重要的作用。这是虚数。
人们把虚数单位I的含义定义为i=√-1，即:
我每4次方循环一次。根据这个定律，我们可以计算出I的2018次方等于-1。实数和虚数可以组合成复数:a+bi形式的数，其中A和B是实数，I是虚数单位。
复数可以用复平面上的一个点(或有向线段)来表示。
复平面是由实轴(OX轴)和虚轴(OY轴)组成的平面。实轴是实轴，上面每个点代表一个实数。比如A点代表1。虚轴是一个没有原点的数轴，每个点代表一个虚数。比如B点代表I，那么平面上的C点在实轴上投影为2，在虚轴上投影为3，那么C点代表的复数就是2+3i。复数的加减乘除规则与实数非常相似。例如:
A=1+i，B=2+3i，那么
a+B = 3+4 I；A-B=-1-2i，A×B=(2-3)+(2+3)i=-1+5i等等。
显然，一个复数中的加、减、乘、除(分母不为零)是封闭的，一个复数的实幂也是一个复数。
然而问题随之而来:一个数的复数幂是什么？
欧拉公式整数的有理幂很简单。
对于无理数幂，比如2的π次方，我们总是可以用两个有理数来近似，也就是说我们知道 只要我们愿意，总是可以无限提高精度的，这样一来，无理数的幂的意义也被我们阐明了。但是，2的I次方是多少？人们似乎不知道。直到欧拉出现。欧拉提出了著名的欧拉公式:
其中θ是实数，E是自然对数的底数2.71828…使用这个公式，我们可以计算一个数的复数幂。例如:
其中ln2表示以2为底的对数，它是一个实数。用这个公式，复数也是闭幂的。此外，如果我们将θ = π代入公式，我们将得到
这是欧拉恒等式，被誉为世界上最美的公式。欧拉公式的证明及应用欧拉公式的证明方法有很多，比如泰勒展开。
泰勒展开式是指一个光滑函数可以展开成一系列函数。例如，E x、cosx和sinx可以展开成以下形式:
当我们把x=iθ代入上式，可以发现欧拉公式左右两边是相等的。此外，还有求导法和积分法。欧拉公式可以用来解决很多问题，尤其是实变函数和物理学中的电学问题。三角函数经常被写成复数来求解。如果没有欧拉，我们很难解决交流电中的很多计算，实现大规模电气化。
顺便说一句，1783年，76岁的欧拉正与家人共进晚餐。在和孙子玩耍的时候，他突然停下来，对大家说:我死定了。然后他就死了。欧拉用自己的生命证明，真正的数学家没有什么不可预测的。
