先说答案:行列式是线性变换的展开因子。
要理解行列式，必须从线性变换开始。直接理解它的代数形式是没有意义的。
这篇文章的结构是:
线性变换的几何直观线性变换的矩阵行列式1线性变换的几何直观
线性变换的几何直观有三个要点:
改造前，是一条直线；改造后还是一条直线；直线的比例保持不变；改造之前，是原点；变换后，它仍然是原点，例如，旋转:
例如，继续:
这两个叠加也是线性变换:
自己试试(看看是否符合前面三个要求):
2线性变换矩阵
关于《黑客帝国》有很多可以说的。在这里，我将通过一个具体的例子向你展示矩阵是如何完成线性变换的。
我之所以画底数，是因为矩阵变换其实就是底数。
举个例子，比如旋转(旋转矩阵
如果你想更具体一点，事实上:
我们只需要旋转底座来完成正方形的旋转:
我们来看看正方形旋转过程中旋转矩阵和基底是如何变化的(为了方便观察旋转，我标记了一个顶点):
再举一个例子，看看通道是如何改变基数的:
3行列式
3.1行列式是线性变换的展开因子
让我们以旋转矩阵为例:
你什么意思？让我们来看看:
在继续之前，我设计了一个动画，让大家感受一下线性变换将如何从变换矩阵的正行列式进行到负行列式(我也标注了基础):
知道行列式是线性变换的展开因子后，我们就很容易理解各种行列式的值与线性变换的关系了。
3.2行列式0
行列式1显然具有放大图形的作用:
行列式=1，图形的大小不会改变:
0行列式1，显然对图形有缩小作用:
3.3行列式=0
行列式等于0，一个重要结论是矩阵不可逆。这也很好理解。
先看看什么是可逆的。原始图表如下所示:
通过旋转矩阵，将其逆时针旋转45度:
通过另一个旋转矩阵顺时针旋转45度:
看起来好像这个正方形没有被改变，所以
和
互逆矩阵。
一些线性变换是可逆的，而另一些是不可逆的。例如，行列式=0等线性变换是不可逆的。从图像上看，图表会缩小一点:
或者收缩成一条直线:
没有矩阵能把它们恢复到原来的样子。
这就像一个打破的鸡蛋，溢出的水，和一面打碎的镜子:
所谓桥下之水，破镜难圆，就是这个意思。
3.4行列式0
原始图像是这样的:
经过行列式0的矩阵线性变换后，看起来是这样的:
行列式0其实就是改变基的“右手定则”。
4推论
知道了行列式的意义，我们就很容易知道为什么:
我们也很容易知道为什么:
这是因为:
也很容易知道为什么三阶矩阵的行列式是由列组成的平行六面体的体积。
