什么是幻方以及幻方的解法,数学什么是幻方

1幻方（Magic Square）是一种将数字安排在正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等的方法。

2 幻方也是一种中国传统游戏。

3旧时在官府、学堂多见。

4它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等。

5 幻方（OEIS中的数列A006052）的数目还没有得到解决。

┌—┬—┬—┬—┬—┐

│17│24│1

│8

│15│

├—┼—┼—┼—┼—┤

│23│5

│7

│14│16│

├—┼—┼—┼—┼—┤

│4

│6

│13│20│22│

├—┼—┼—┼—┼—┤

│10│12│19│21│3

│

├—┼—┼—┼—┼—┤

│11│18│25│2

│9

│

└—┴—┴—┴—┴—┘

所谓幻方，就是一个n行n列的正方形，当n为奇数时，称为奇数阶幻方。共有n2个格子，将1、2、3、……、n2这些数字放到这些格子里，使其每行的和、每列的和及两条对角线的和都是一个相同的数。解法：1、

将1放在第一行中间一个格子里。

2、

依次将后一个数放到前一个数的右上格，如：将2放到1的右上格。将3放到2的右上格等等。

可能出现下面的情况。

①

若右上格从上面超出，则将后一数放到与右上格同列的最后一行。

②

若右上格从右面超出，则将后一数放到与右上格同行的最后一列。

③

若右上格既从右面超出又从上面超出，则将后一数放到前一数的下面。

④若右上格已被数字填充，则将后一数放到前一数的下面

依以上法则，你可以很快的写出奇数阶幻方！当然，这中写法只是其中一个答案，而不是唯一答案。

解法1(对称交换法)

1求幻和

(1 2 …… 16)÷4＝34

2

⑴将1～16按自然顺序排成四行四列;

⑵因为每条对角线上四个数之和恰为幻和,保持不动

⑶将一四行交换、二三行交换，但是对角线上八个数不动。

⑷将一四列交换、二三列交换，但是对角线上八个数不动。

（1）

1  2  3  4

5  6  7  8

9  10 11 12

13 14 15 16

（2）

1 14  15  4

9  6  7  12

5  10  11 8

13  2  3 16

（3）

1  15 14 4

12  6  7 9

8  10 11 5

13  3 2 16

解法2(田格图阵法)

1将1～16平均分为4组,每组4个数的和均为幻和34(多种分法)如:

1 12 7 14=2 11 8 13=3 10 5 16=4 9 6 15=34

2分别填入4个田字格,两行之和分别为13与21

3将4个田格合并,再适当转动各田格,得到满足要求的幻方

解法3：（推理法）

  常用，虽然速度不是很快。其实就是在1~16这16个数找到四个数相加为34的数填在四阶幻方的正中间，然后按照一定的推理方法填入其它空格内。

（方法挺笨重，但挺实用的）

解法4：（方程法）

  四阶幻方，可以有设置5个未知数到里面，只要代进其中的数，可以推出其它的数，具体设置位置，可以看下附图（应该上传的得了）

解法5：程序法

  计算机的运算速度非常快，所以采用程序计算可以很快得到，至于什么样的程序，可以根据很多不同的算法得到每一种方法。举个例子，用程序法解三阶幻方，可以用“楼梯法”的精髓思想，也可以用“杨辉法”的精髓思想。

奇数阶幻方的填法。

奇数阶幻方中最简便的一种就是三阶幻方，又称“九宫图”。

平常我们遇到这类题都是用分析、分组、尝试的方法推出，这种方法较麻烦，如果是五阶幻方、七阶幻方就更困难了。

有一种方法不仅能很快地填出三阶幻方，还能很快地填出五阶幻方、七阶幻方、九阶幻方……那就是“口诀法”

口 诀

“1”坐边中间，斜着把数填；

出边填对面，遇数往下旋；

出角仅一次，转回下格间。

注意：

（1）这里的“1”，是指要填的这一列数中的第一个数。

（2）“1”坐边中间，指第一个数要填在任何一边的正中间的空格里。

（3）从1到2时，必须先向边外斜（比如：第一个数填在上边的正中间，填第二个数时，要向左上方或右上方斜），填后面的数时也要按照同样的方向斜。

例如：五阶幻方就是把1－25二十五个数字填入下面的图形中，使每一行、每一列、每条对角线上的五个数字和都相等。

17 24 1 8 15

23 5 7 14 16

4 6 13 20 22

10 12 19 21 3

11 18 25 2 9

幻方是一种广为流传的数学游戏,据说早在大禹治水时就发现过幻方的特点是：由自然数构成n×n正方形阵列,称为n阶幻方,每一行、每一列、两对角线上的数之和相等法国人罗伯总结出了构造奇数阶连续自然数幻方的简单易行的方法“罗伯法”

罗伯法的具体方法如下：

把1(或最小的数)放在第一行正中；

按以下规律排列剩下的n2-1个数：

1)每一个数放在前一个数的右上一格；

2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行,仍然要放在右一列；

3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列,仍然要放在上一行；

4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；

5)如果这个数所要放的格已经有数填入,处理方法同4)

3阶幻方,用罗伯法得出答案 8 1 6

3 5 7

4 9 2

你可以把每个数都减去一个固定值,也可以使每一行、每一列、两对角线上的数之和相等

比如都剪去5,得出 3 -4 1

-2 0 2

-1 4 -3

幻方算法（Magic Square）学习笔记

一、幻方按照阶数可分成了三类，即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。

二、奇数阶幻方（劳伯法）

奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。填写的方法是：

把1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的(n×n－1)个数：

1、每一个数放在前一个数的右上一格；

2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列； 

3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；

4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在底行且最左列；

5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。

三、双偶数阶幻方（海尔法）

所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是在n阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与1的和（即n×n＋1），我们称它们为一对互补数。

如在三阶幻方中，每一对和为10的数，是一对互补数 ；在四阶幻方中，每一对和为17的数，是一对互补数。

双偶数阶幻方最经典的填法是海尔法。填写的方法是：

以8阶幻方为例：

1、先把数字按顺序填。然后，按4×4把它分割成4块。

2、每个小方阵对角线上的数字（如左上角小方阵部分），换成和它互补的数。

四、单偶数阶幻方（斯特拉兹法）

所谓单偶阶幻方就是当n不可以被4整除时的偶阶幻方，即4K+2阶幻方。如(n=6，10，14……)的幻方。

单偶数阶幻方最经典的填法是斯特拉兹法。填写的方法是：

以10阶幻方为例。这时，k=2。

1、把魔方阵分为A，B，C，D四个象限，这样每一个象限肯定是奇数阶。用罗伯法，依次在A象限，D象限，B象限，C象限按奇数阶幻方的填法填数。

2、在A象限的中间行、中间格开始，按自左向右的方向，标出k格。A象限的其它行则标出最左边的k格。将这些格，和C象限相对位置上的数互换位置。

3、在B象限所有行的中间格，自右向左，标出k－1格。(注：6阶幻方由于k－1=0，所以不用再作B、D象限的数据交换)，将这些格，和D象限相对位置上的数互换位置。

扩展资料：

种类

完全幻方

完全幻方指一个幻方行、列、主对角线及泛对角线各数之和均相等  。

乘幻方

乘幻方指一个幻方行列、对角线各数乘积相等。

高次幻方

n阶幻方是由前n^2（n的2次方）个自然数组成的一个n阶方阵，其各行、各列及两条对角线所含的n个数的和相等。

高次幻方是指，当组成幻方各数替换为其2，3,,k次幂时，仍满足幻方条件者，称此幻方为k次幻方。

反幻方

反幻方的定义：在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和不相等，具有这种性质的图表，称为“反幻方”。

反幻方与正幻方最大的不同点是幻和不同，正幻方所有幻和都相同，而反幻方所有幻和都不同。所谓幻和就是幻方的任意行、列及对角线几个数之和。如下图3阶反幻方的比较。

参考资料来源：百度百科-幻方

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