①若
m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则am·an=ap·aq;
②在等比数列中，依次每
k项之和仍成等比数列
“G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G≠0)”
③若(an)是等比数列，公比为q1，(bn)也是等比数列，公比是q2，则
(a2n)，(a3n)…是等比数列，公比为q1^2，q1^3…
(can)，c是常数，(anbn)，(an/bn)是等比数列，公比为q1，q1q2，q1/q2。
(5)
等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1)
在等比数列中，首项A1与公比q都不为零
注意:上述公式中A^n表示A的n次方。
(6)由于首项为a1，公比为q的等比数列的通向公式可以写成anq/a1=q^n，它的指数函数y=a^x有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列。
（1）等比数列的通项公式是：an=a1×q^（n－1）
若通项公式变形为an=a1/qq^n(n∈n),当q＞0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/qq^x上的一群孤立的点。
（2)
任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)
（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：
a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}
（4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。
记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1
1、等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示．
注意
2、等比数列的通项公式
由a2=a1q，a3=a2q=a1q2，a4=a3q=a1q3，……，归纳得出an=a1qn－1此公式对n=1也成立
注意
3、等比中项
如果在a与b中间插入一个数g，使a，g，b成等比数列，那么g叫做a与b的等比中项．
注意
4、等比数列的判定方法
（1）、an=an－1·q（n≥2），q是不为零的常数，an－1≠0{an}是等比数列
（2）、an2=an－1·an＋1（n≥2,
an－1,an,an＋1≠0）{an}是等比数列
（3）、an=c·qn（c，q均是不为零的常数）{an}是等比数列
5、等比数列的性质
设{an}为等比数列，首项为a1，公比为q
（1）、当q>1，a1>0或0
1，a1<0或0
0时，{an}是递减数列；当q=1时，{an}是常数列；当q<0时，{an}是摆动数列
（2）、an=am·qn－m（m、n∈n）
（3）、当m＋n=p＋q（m、n、q、p∈n）时，有am·an=ap·aq
（4）、{an}是有穷数列，则与首末两项等距离的两项积相等，且等于首末两项之积
（5）、数列{λan}（λ为不等于零的常数）仍是公比为q的等比数列；若{bn}是公比为q′的等比数列，则数列{an·bn}是公比为qq′的等比数列；数列是公比为的等比数列；{|an|}是公比为|q|的等比数列
（6）、在{an}中，每隔k(k∈n)项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公比为qk＋1
（7）、当数列{an}是各项均为正数的等比数列时，数列{lgan}是公差为lgq的等差数列
（8）、{an}中，连续取相邻两项的和（或差）构成公比为q的等比数列
（9）、若m、n、p（m、n、p∈n）成等差数列时，am、an、ap成等比数列
6、等比数列的前n项和公式
设等比数列a1,a2,a3,…,an，…，它的前n项和是sn=a1＋a2＋…＋an，根据等比数列的通项公式可将sn写成sn=a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1…①
①两边乘以q得qsn=a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn
…②
两式相减得
（1－q）sn=a1－a1qn，
由此得q≠1时等比数列{an}的前n项和的公式
因为an=a1qn－1，所以上面公式还可以写成
当q=1时，sn=na1
注意
7、等比数列前n项和的一般形式
一般地，如果a1,q是确定的，那么
8、等比数列的前n项和的性质
（1）、若某数列前n项和公式为sn=an－1(a≠0,±1)，则{an}成等比数列
（2）、若数列{an}是公比为q的等比数列，则
（ⅰ）、sn＋m=sn＋qn·sm
（ⅱ）、在等比数列中，若项数为2n(n∈n)，则
（ⅲ）、sn,s2n－sn,s3n－s2n成等比数列
等比数列是前一项除以后一项等于一个固定常数q
通项公式an＝a1·q(n－1),
等差数列是前一项与后一项的差是常数
等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d
等比数列是指前一个数和后一个数的比相同,
如:1,3,9,27，……
等差数列是指前一个数和后一个数的差相同，
如：1，4，7，10，13，，16，……
等比数列是前一项除以后一项等于一个固定常数q
通项公式an＝a1·q(n－1),
等差数列是前一项与后一项的差是固定常数
等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d
一个差相等，一个比相等
用例题来理解等比数列。
先看看等比数列定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于一个常数（不为0），那么，这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比。
来看下面这道题：
例1求1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024的和。
通过观察，会发现这个数列的后一项比上前一项都是2。
2÷1=2；
4÷2=2；
8÷4=2；
……
1024÷512=2。
所以这个题目就是典型的等比数列求和题，
公比是2。
例1中，如果拿笔硬算会十分麻烦，而且容易出错。
在这里G老师分享一个计算等比数列求和题目时经常用到的一个方法。
☞ 错位相减法
令A=1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024，
G老师让A这个式子再乘以数列的公比，
会得到什么呢？
2A=2+4+8+16+32+128+256+512+1024+2048，
这样我们构造出了一个新数列，
而且这个数列的和等于原数列乘以公比。
再将两个式子相减，
G老师纯手写
左边是2A-A=A；
右边是2048-1；
等式右边其余的项都已经抵消了。
这样我们就得出结果了，
1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024=2047
再来看看下面这道题
例2计算3+9+27+81+243+729+2187
分析：这题是等比数列求和，公比是3，共有7项。采用错位相减法，让等式乘以它的公比。
令A=3+9+27+81+243+729+2187；
则 3A=9+27+81+243+729+2187+6561；
两式相减，
3A-A=2A=6561-3
2A=6558
A=6558÷2=3279
所以，
3+9+27+81+243+729+2187=3279
总结一下，等比数列的一般规律。
等比数列中，
公比=后一项÷前一项；
末项的值=首项x公比的(n-1)次方（n代表项数）。
注意：公比的(n-1)次方=(n-1)个公比相乘
如例2中，末项是2187，首项是3，项数n=7。
2187=3x3^(7-1)
等比数列的和=(末项x公比-首项)÷(公比-1)
（由错位相减法得出）
等比数列的解释
数学用语。从第二项始，以下任一项与前一项的比恒等的数列，如1，2，4，8……。
词语分解
等比的解释 同辈；同列。《汉书·元后传》：“太后怜弟 曼 蚤死，独不封， 曼 寡妇 渠 供养 东宫 ，子 莽 幼孤，不及等比，常以为语。”《后汉书·贾复传》：“﹝ 贾复 ﹞为县掾，迎盐 河 东，会遇盗贼，等比十馀人 数列的解释 依照 某种 法则排列的一列数。如：、、、……；、、、……等。数列分有限数列和无限数列两种。
等比数列就是后一项比前一项的比值都一样的数列，这个比值叫做公比q
比如1 2 4 8 16公比就是2
又比如1/3 1/9 1/27 1/81公比就是1/3
设通项是an(就是第n项)，则a(n+1)=qan
那么求和记为
Sn=a1+a2++an (1)
两边同乘以q，
qSn=q(a1+a2++an) =a2+a3++an+qan（2）乘以q后每个a的角标就要+1
（1）-（2）式得到
(1-q)Sn=qan-a1=qa1q^(n-1)-a1=a1(1-q^n) 这里an=a1q^(n-1)
所以Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
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