指数函数的导数公式是如何推导出来的

这里将列举几个基本的函数的导数以及它们的推导过程:

1y=c(c为常数) y'=0

2y=x^n y'=nx^(n-1)

3y=a^x y'=a^xlna

y=e^x y'=e^x

4y=logax(a为底数，x为真数) y'=1/xlna

y=lnx y'=1/x

5y=sinx y'=cosx

6y=cosx y'=-sinx

7y=tanx y'=1/cos^2x

8y=cotx y'=-1/sin^2x

9y=arcsinx y'=1/√1-x^2

10y=arccosx y'=-1/√1-x^2

11y=arctanx y'=1/1+x^2

12y=arccotx y'=-1/1+x^2

13y=u^v ==> y'=v' u^v lnu + u' u^(v-1) v

在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：

1y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]�6�1g'(x)『f'[g(x)]中g(x）看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量』

2y=u/v,y'=u'v-uv'/v^2

3y=f(x)的反函数是x=g(y），则有y'=1/x'

证：1显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。用导数的定义做也是一样的：y=c,△y=c-c=0,lim△x→0△y/△x=0。

2这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。

3y=a^x,

△y=a^(x+△x)-a^x=a^x(a^△x-1)

△y/△x=a^x(a^△x-1)/△x

如果直接令△x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β＝a^△x-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：△x=loga(1+β)。

所以(a^△x-1)/△x＝β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β

显然，当△x→0时，β也是趋向于0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。

把这个结果代入lim△x→0△y/△x=lim△x→0a^x(a^△x-1)/△x后得到lim△x→0△y/△x=a^xlna。

可以知道，当a=e时有y=e^x y'=e^x。

4y=logax

△y=loga(x+△x)-logax=loga(x+△x)/x=loga[(1+△x/x)^x]/x

△y/△x=loga[(1+△x/x)^(x/△x)]/x

因为当△x→0时，△x/x趋向于0而x/△x趋向于∞，所以lim△x→0loga(1+△x/x)^(x/△x)＝logae,所以有

lim△x→0△y/△x＝logae/x。

可以知道，当a=e时有y=lnx y'=1/x。

这时可以进行y=x^n y'=nx^(n-1)的推导了。因为y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,

所以y'=e^nlnx�6�1(nlnx)'=x^n�6�1n/x=nx^(n-1)。

5y=sinx

△y=sin(x+△x)-sinx=2cos(x+△x/2)sin(△x/2)

△y/△x=2cos(x+△x/2)sin(△x/2)/△x=cos(x+△x/2)sin(△x/2)/(△x/2)

所以lim△x→0△y/△x=lim△x→0cos(x+△x/2)�6�1lim△x→0sin(△x/2)/(△x/2)=cosx

6类似地，可以导出y=cosx y'=-sinx。

7y=tanx=sinx/cosx

y'=[(sinx)'cosx-sinx(cos)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x

8y=cotx=cosx/sinx

y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x

9y=arcsinx

x=siny

x'=cosy

y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2

10y=arccosx

x=cosy

x'=-siny

y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2

11y=arctanx

x=tany

x'=1/cos^2y

y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2

12y=arccotx

x=coty

x'=-1/sin^2y

y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2

13联立：

①(ln(u^v))'=(v lnu)'

②(ln(u^v))'=ln'(u^v) (u^v)'=(u^v)' / (u^v)

另外在对双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与

4y=u土v,y'=u'土v'

5y=uv,y=u'v+uv'

通常，根号就是表示某数开2分之1次根。

例如：

√x = x的2分之1次方 =（x）^（1/2）求导

（1/2） x ^（1/2 - 1 ）

= （1/2） x ^（ - 1/2 ）

= 1 / （2√x）

又如：

y = a开3次方求导，y = a^(1/3)

y' = （1/3）a^ （1/3 - 1 ）

延伸至开一个数的n次方，都可以把它化成一个数的n分之1。

这样就可以比较轻松求导。

函数  被称为幂指函数，在经济活动中会大量涉及此类函数，注意到它很特别。既不是指数函数又不是幂函数，它的幂底和指数上都有自变量x，所以不能用初等函数的微分法处理了。这里介绍一个专门解决此类函数的方法，对数求导法。

扩展资料：

导数公式：

1C'=0(C为常数)；

2(Xn)'=nX(n-1) (n∈R)；

3(sinX)'=cosX；

4(cosX)'=-sinX；

5(aX)'=aXIna （ln为自然对数)；

6(logaX)'=（1/X)logae=1/(Xlna) (a>0，且a≠1)；

7(tanX)'=1/(cosX)2=(secX)2

8(cotX)'=-1/(sinX)2=-(cscX)2

9(secX)'=tanX secX；

10(cscX)'=-cotX cscX；

反函数求导法则：

若函数  严格单调且可导，则其反函数  的导数存在且  。

复合函数求导法则：

若  在点x可导  在相应的点u也可导，则其复合函数  在点x可导且  。

参考资料：

u=e^x

则[u^(-2)]这是幂函数

[u^(-2)]'=-2u^(-3)=-2e^(-3x)

所以导数=-2e^(-3x)e^x

=-2e^(-3x+x)

=-2e^(-2x)

一样

导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。

一、导数第一定义

设函数 y = f(x) 在点 x0 的某个邻域内有定义当自变量x 在 x0 处有增量△x ( x0 + △x 也在该邻域内 ) 时相应地函数取得增量 △y = f(x0 + △x) - f(x0) 如果 △y 与 △x 之比当 △x→0 时极限存在则称函数 y = f(x) 在点 x0 处可导并称这个极限值为函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数记为 f'(x0) ,即导数第一定义

二、导数第二定义

设函数 y = f(x) 在点 x0 的某个邻域内有定义当自变量x 在 x0 处有变化 △x ( x - x0 也在该邻域内 ) 时相应地函数变化 △y = f(x) - f(x0) 如果 △y 与 △x 之比当 △x→0 时极限存在则称函数 y = f(x) 在点 x0 处可导并称这个极限值为函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数记为 f'(x0) ,即导数第二定义

三、导函数与导数

如果函数 y = f(x) 在开区间I内每一点都可导就称函数f(x)在区间 I 内可导。这时函数 y = f(x) 对于区间 I 内的每一个确定的 x 值都对应着一个确定的导数这就构成一个新的函数称这个函数为原来函数 y = f(x) 的导函数记作 y', f'(x), dy/dx, df(x)/dx。导函数简称导数。

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