设中心为O。。
首先证明向量OA1+OA2++OAn=0
为了方便证明，把正n边形放到xoy平面内，O点放到坐标原点。OA1方向为x轴的正向。
由于正n边形都内接于圆，所以|OA1|=|OA2|==|OAn|，且相邻两向量的夹角为2π/n
设|OA1|=|OA2|==|OAn|=R
所以向量OAk=(Rcos[2π(k-1)/n], Rsin[2π(k-1)/n]) ，其中k=1,2,n
根据欧拉定理，
Rcos[2π(k-1)/n]+i Rsin[2π(k-1)/n]=Re^[i 2π(k-1)/n]
因为
∑{Rcos[2π(k-1)/n]+i Rsin[2π(k-1)/n]}=∑{Rcos[2π(k-1)/n]} +i ∑{Rsin[2π(k-1)/n]}
=∑{Re^[i 2π(k-1)/n]}
=R{[1-e^((2π/n)n)] /[1-e^(2π/n)]
=0
（∑{Re^[i 2π(k-1)/n]}求和用的是等比数列公式，公比是e^(2π/n)）
所以∑{Rcos[2π(k-1)/n]}=0
∑{Rsin[2π(k-1)/n]}=0
所以∑OAk=OA1+OA2++OAn=0
所以把正n变形放到任何坐标系中，仍然满足 OA1+OA2++OAn=0。。
设O(x0,y0,z0)
那么OAk=(xk-x0,yk-y0,zk-z0), 其中k=1,2,3n
因为OA1+OA2++OAn=0
所以∑(xk-x0,yk-y0,zk-z0)=(x1+x2++xn-nx0, y1+y2++yn-ny0, z1+z2++zn-nz0)=(0 ,0,0)
所以
x1+x2++xn-nx0=0
y1+y2++yn-ny0=0
z1+z2++zn-nz0=0
得到
x0=(x1+x2++xn)/n
y0=(y1+y2++yn)/n
z0=(z1+z2++zn)/n
1、各边都相等．
2、各角都相等．
3、正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心．
4、边数相同的正多边形相似．它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
5、任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
正三角形符合以上所有的定理，所以正三角形是正多边形，三角形是多边形
圆的性质:
割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于ABCD 则有 PA·PB=PC·PD，当PA=PB，即直线AB重合，即PA切线是得到切线定理PA^2=PCPD
证明：（令A在PB之间，C在PD之间）因为ABCD为圆内接四边形，所以角CAB+角CDB=180度，又角CAB+角PAC=180度，所以角PAC=角CDB，又角APC公共，所以三角形APC与三角形DPB相似，所以PA/PD=PC/PB,所以PAPB=PCPD
切线的判定和性质
切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
几何语言：∵l ⊥OA，点A在⊙O上
∴直线l是⊙O的切线（切线判定定理）
切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点半径
几何语言：∵OA是⊙O的半径，直线l切⊙O于点A
∴l ⊥OA（切线性质定理）
推论1 经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点
推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
切线长定理
定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
几何语言：∵弦PB、PD切⊙O于A、C两点
∴PA=PC，∠APO=∠CPO（切线长定理）
弦切角
弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
几何语言：∵∠BCN所夹的是 ，∠A所对的是
∴∠BCN=∠A
推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等
几何语言：∵∠BCN所夹的是 ，∠ACM所对的是 ， =
∴∠BCN=∠ACM
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
4．弦切角概念：顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角．它是继圆心角、圆周角之后第三种与圆有关的角．这种角必须满足三个条件：
（1）顶点在圆上，即角的顶点是圆的一条切线的切点；
（2）角的一边和圆相交，即角的一边是过切点的一条弦所在的射线；
（3）角的另一边和圆相切，即角的另一边是切线上以切点为端点的一条射线．
它们是判断一个角是否为弦切角的标准，三者缺一不可，比如下图中 均不是弦切角．
（4）弦切角可以认为是圆周角的一个特例，即圆周角的一边绕顶点旋转到与圆相切时所成的角．正因为如此，弦切角具有与圆周角类似的性质．
弦切角定理：弦切角等于它所夹的孤对的圆周角．它是圆中证明角相等的重要定理之一．
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
中心角是指一个正多边形的相邻的两个顶点与它的中心的连线的夹角。以圆心为顶点﹑半径为两边的，也称圆心角。任何一个正多边形，都可作一个外接圆，正多边形的中心就是所作外接圆的圆心，所以每条边的中心角，实际上就是这条边所对的弧的圆心角，因此这个角就是360度除以边数。
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