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世界未解之谜

《数学中的未解之谜》（贺贤孝）电子书网盘下载免费在线阅读

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书名：数学中的未解之谜

作者：贺贤孝

出版社：湖南教育出版社

出版年份：1998-9

页数：166

金字塔是埃及文明的象征原因：

1 埃及金字塔最集中地反映了埃及人民高度的智慧、令人难以致信的创造能力和劳动能力，反映出古埃及在建筑学，天文学，数学等方面的非凡成就。

2 金字塔是对太阳神表达崇拜的方式。古埃及人是非常虔诚的信仰着神，特别的太阳神。他们认为法老便是太阳神的化身，所以法老死后是会回到天上的。”为他(法老)建造起上天的天梯，以便他可由此上到天上”，而金字塔就是法老到达天上的天梯。

3 这项工程的艰难和巨大，据现代工程学家的推测，这些沉重的巨石，主要是用杠杆的原理，用木橇一点点地将石料移动、推送、堆砌的。特别是胡夫金字塔不仅外观巍峨雄伟，而且设计精巧、结构复杂、工程坚固，在世界建筑史上，这样的“精工巧做”也是凤毛麟角，因此是世界“七大奇迹”之一。

结果都是9

无所不在的 9

M ：数 9是具有很多神秘性质的数。你知道吗，9 隐藏在每个著名人物的生日中？

M ：请看华盛顿的生日。他出生在1732年 2月22日。把这些数字按美国习惯写成一个数 2221732，现在，把这个数中的数字重新排列，就可以构成任意一个不同的数。用较大的数减去较小的数可得一个差数。

（例如：2221732 - 1232272 = 989460）

M ：把差数的各个数字加起来，在这个实例中得和36。3 加 6得 9！

M ：如果你对德·高尔、约翰·肯尼迪或者任何一个著名的男人或女人的生日作上述计算，你最后都可得到 9。是不是著名人物的生日和 9有什么神秘的关系？

一旦弄懂了上面这个悖论说明的计算程序，就可在班级里试试让每个学生把自己的生日作这一计算。结果，每个人最后都得到 9。

如果把一个大数的各位数字相加得到一个和，再把这个和的各位数字相加又得一个和，再继续作数字和，直到最后的数字和是个位数为止，这最后的数称为最初那个数的“数字根”。这个数字根等于原数除以 9的余数，因此这个计算过程常常称为“合九法”。

求一个数的数字根最快的方法是在加原数的数字时把 9舍去。例如，最初两个数宇是 6和 8，二者相加成14，再将 1加 4，结果是 5。换言之，舍去 9以后的数字和若多于—位数则把两个数字再加起来，计算这个和。最后的数就是要求的数字根。可说数字根等价于原数对 9的模，简称模 9。由于 9除以 9 余零，所以在模 9算法中，9 和 0是等价的。

在发明计算机之前，会计员常常用模 9算法来检查很大数目的和、差、积和商。譬如，假若我们用 A 减 B得到 C，这个结果可以作下面检查：把 A的数字根减去 B的数字根，看看差是否对得上 C的数字权。如果原来算的差是对的，那么数字根的差也对得上。这并不能证明原来的计算正确，可是如果数字根的差不等，则会计员就知道他算错了。如果数字根能对得上，则他计算正确的可能性是 8/9。这种数字根检验方法可同样应用于数字的加、乘和除上。

现在我们就可以弄懂上述生日算法的奥妙在哪里了。假定一个数 N由很多个数字组成。我们把 N的数字打乱就得到—个新的数 N’。显然 N和 N’有着同样的数字根。因此，如果我们把二者相减就会得 0 ，这和 9是一回事（在模 9算法中）。这个数，0 或者 9，必然是 N和 N’之差的数字根。简言之，取任意一个数，把它的数字打乱重排得另一数，将二者相减，所得的差的数字根就是 0或 9。

结果为 0只是在 N和 N’相等时。因此，应当提醒学生，在他们用自己生日进行计算时，要保证重排的数可以得到一个差数。只要两个数不等，其差的数字根就是 9。

用这个无所不在的9可以玩出很多数字魔术来。例如，一个学生在老师背转身去时写下一个数，所以老师看不见学生写的是什么。然后学生把那个数的数字打乱排成另一个数，计算这个数与原来那个数的差（大数减小数）。然后老师就让学生把差数中一个非零的数字划掉。这时，学生把余下的数字按任意顺序高声读出。老师仍然背转着身子，却能说出划掉的数字是几。

这个魔术的技巧很明显。那两个数之差应该有数字根9。当学生划掉一个数字后，并高声读出其他数字时，老师只要去掉9把其他数字心算加出来。学生念完时，老师用9减去最后的数字，结果就是学生划掉的那个数字（如果最后算得9，学生划掉的就是9）。

上述魔术和生日之谜将大大激发学生学习模算系统的兴趣。

素数是所有数字的基础，就如元素周期表中的化学元素一样，化学元素是组成所有化学物质的基础，素数包含了数的所有奥秘，所以数学研究者对素数有着特殊的喜爱。

素数

素数也叫质数，指大于1的自然数中，除了1和它本身外不再有其他因数的自然数，比如2、3、5、7、11、13……。

最初研究素数的是古希腊数学家欧几里得（约公元前330年—前275年），他在《几何原本》中用反证法，对“素数有无穷多个”给出了一个经典的证明方法。

证明思路：

假设存在最大的素数P，那么将已知所有的素数相乘再加1，得到M：M=2×3×5×7×11×……×P+1，显然M不可能被已知的任何一个素数整除，所以M有可能是素数，或者存在比P更大但是比M小的素数因子；无论哪种情况，都说明存在比P更大的素数，与假设矛盾，所以素数是无限的。

素数是构成整数的基础，所有整数都可以用素数来表示，如下：

所以素数包含了所有整数的奥秘，整数分解就是破解整数奥秘的途径之一，因为整数分解后只剩下素数因子。

素数的应用

在现实生活中，数的分解是许多网络加密的基础，我们要把两个已知数相乘很容易，但是要把一个大数分解却很难，利用整数的这一非对称特性，密码学家巧妙地设计了加密和解密的数学原理，比如RSA非对称加密算法，就是基于大数分解。

换句话说，一旦出现一种算法能很快地分解一个大数，那么RSA加密方法将失效，但是目前为止还没有出现这样的高效算法。

素数的未解之谜

数学家围绕素数发现了许多规律，其中很多还是猜想，有些历经几百年也没有人能够证明，这些猜想都是数学上的圣杯，谁要是能证明其一，必定名留青史。

（1）哥德巴赫猜想

猜想内容：任何一个大于2的偶数，都可以写成两个素数之和，简称“1+1=2”。

哥德巴赫于1742年提出，如今已经270多年，最好的成果是我国数学家陈景润证明的“1+2”，也就是：任一充分大的偶数，都可以写成一个素数与一个不超过两个素数的乘积之和。

（2）孪生素数猜想

相差2的素数对叫做孪生素数，比如5和7，11和13，该猜想说的是孪生素数有无穷多对。

目前最好的成果，是美籍华人数学家张益唐，在2013年提出一种方法，证明存在无穷多个差小于某个数M的素数对，当时张益唐证明了M=7000万的情况，一旦完成M=2就解决了孪生素数猜想，目前M已经被缩小到了200多。

（3）ABC猜想

该猜想描述了三个互素整数a、b、c（满足a+b=c）的素因子之间的关系，是数论中一个非常美妙的猜想，也是一个非常强的数学猜想，一旦ABC猜想被证明，那么证明费马大定理只需要短短五句话。

ABC猜想最新的消息，是2012年日本数学家望月新一宣称完成了证明，他的证明过程足足有500多页，其中有很多他自定义的符号和算法，以至于到现在还没有人能对他的证明给出合理评判。

（4）黎曼猜想

素数拥有无穷多个，但是素数的分布极为不规律，由于素数在整数中的特殊性，数学家对素数始终有着特殊的爱好，也有很多优秀的数学家竭尽一生去研究素数分布规律。

对素数分布规律的第一个突破性进展，是大数学家高斯在1792年（15岁）发现了素数定理，素数定理说的是素数分布与积分函数渐近，但是高斯也无法证明素数定理，使得素数定理成为19世纪最著名的数学难题，直到1896年，素数定理才被其他人证明。

素数定理是素数分布的渐近公式，但是随着数字的增大，素数定理和素数分布的绝对误差将会趋向于无穷，所以素数定理的实用性并不大。

直到1859年，高斯的学生黎曼在一篇论文中，扩展了100多年前欧拉发现的一个公式，然后推导出一个素数分布的准确公式π(x)，该公式是否成立，取决于一个猜想是否正确——黎曼猜想。

从黎曼猜想中我们可以看出，素数的分布取决于黎曼函数的非平凡零点分布，由于黎曼函数的所有非平凡零点，对每个素数都有贡献，使得黎曼猜想的证明变得相当艰难。

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