自然对数e的值

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(1+1/n)^n。当n接近无穷大时这个数值就是e=271828,在自然界种群的发展就常用这个数，例如人口增长模型：y=C0e^rt,其中C0是人口基数，r是人口增长率，t是时间。

1、e是自然对数的底数,是一个无限不循环小数,其值是271828……。对于数列{(1+1/n )^n}，当n趋于正无穷时该数列所取得的极限就是e，即e =lim(1+1/n)^n。通过二项式展开，取其部分和，可得e的近似计算式e=1+1+1/2！+1/3！+1/4！+ + 1/n!，n越大，越接近的真值。

2、数e的某些性质使得它作为对数系统的底时有特殊的便利。以e为底的对数称为自然对数。用不标出底的记号ln来表示它；在理论的研究中，总是用自然对数。

e在科学技术中用得非常多，一般不使用以10为底数的对数。以e为底数，许多式子都能得到简化，用它是最“自然”的，所以叫“自然对数”。

我们可以从自然对数最早是怎么来的来说明其有多“自然”。以前人们做乘法就用乘法，很麻烦，发明了对数这个工具后，乘法可以化成加法，即:

log(a

b)

=

loga

+

logb

但是能够这么做的前提是，我要有一张对数表，能够知道loga和logb是多少，然后求和，能够知道log多少等于这个和。虽然编对数表很麻烦，但是编好了就是一劳永逸的事情，因此有个大数学家开始编对数表。但他遇到了一个麻烦，就是这个对数表取多少作为底数最合适10吗或是2为了决定这个底数，他做了如下考虑:

1所有乘数/被乘数都可以化到01-1之内的数乘以一个10的几次方，这个用科学记数法就行了。

2那么现在只考虑做一个0-1之间的数的对数表了，那么我们自然用一个0-1之间的数做底数。(如果用大于1的数做底数，那么取完对数就是负数，不好看;)

3这个0-1间的底数不能太小，比如01就太小了，这会导致很多数的对数都是零点几;而且“相差很大的两个数之的对数值却相差很小”，比如01做底数时，两个数相差10倍时，对数值才相差1换句话说，像05和055这种相差不大的数，如果用01做底数，那么必须把对数表做到精确到小数点以后很多位才能看出他们对数的差别。

4为了避免这种缺点，底数一定要接近于1，比如099就很好，09999就更好了。总的来说就是1

-

1/X

，

X越大越好。在选了一个足够大的X(X越大，对数表越精确，但是算出这个对数表就越复杂)后，你就可以算

(1-1/X)^1

=

p1

,

(1-1/X)^2

=

p2

,

……

那么对数表上就可以写上

P1

的对数值是

1，P2的对数值是

2……(以1-1/X作为底数)。而且如果X很大，那么P1,P2,P3……间都靠得很紧，基本可以满足均匀地覆盖了01-1之间的区间。

5最后他再调整了一下，用

(1

-

1/X)^

X作为底，这样P1的对数值就是P1/X，

P2的对数值就是P2

/

X，……

PX的对数值就是1，这样不至于让一些对数值变得太大，比如若X=10000,有些数的对数值就要到几万，这样调整之后，各个数的对数值基本在0-几之间。两个值之间最小的差为1/X。

6现在让对数表更精确，那么X就要更大，数学家算了很多次，1000，1万，十万，最后他发现，X变大时，这个底数(1

-

1/X)^

X趋近于一个值。这个值就是1/e，自然对数底的倒数(虽然那个时候还没有给它取名字)。其实如果我们第一步不是把所有值放缩到01-1之间，而是放缩到1-10之间，那么同样的讨论，最后的出来的结果就是e了。

当然后来数学家对这个数做了无数研究，发现其各种神奇之处，出现在对数表中并非偶然，而是相当自然或必然的。因此就叫它自然对数底了。

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