π是否有理数

这个证明属于Ivan Niven。假设pi=a/b，我们定义（对某个n）：

f(x) = (x^n) (a-bx)^n / n!

F(x) = f(x) + + (-1)^j f^(2j)(x) + + (-1)^n f^(2n)(x)

这里f^(2j)是f的2j次导数

于是f和F有如下性质（都很容易验证）:

1)f(x)是一个整系数多项式除以n!。

2)f(x) = f(Pi - x)

3)f在(0,pi)区间上严格递增，并且x趋于0时f(x)趋于0，

x趋于pi时f(x)趋于pi^n a^n / n!

4)对于0 <= j < n, f的j次导数在0和pi处的值是0。

5)对于j >= n, f的j次导数在0和pi处是整数（由1)可知）。

6)F(0)和F(pi)是整数（由4)，5)可知）。

7)F + F'' = f

8)(F'·sin - F·cos)' = f·sin （由7)可知）。

这样，对f·sin从0到pi进行定积分，就是

(F'(pi)sin(pi)-F(pi)cos(pi)) - (F'(0)sin(0)-F(0)cos(0))

=F(pi)+F(0)

由6)可知这是个整数。

问题在于如果把n取得很大，由3)可知f·sin从0到pi进行定积分必须严格大于0严格小于1。矛盾，证毕。

π是正数，但它不是有理数。

π希腊字母 （读作pài）表示圆周率，是一个常数（约等于3141592654），是代表圆周长和直径的比值。它是一个无理数，即无限不循环小数。

在日常生活中，通常都用314代表圆周率去进行近似计算。

π也等于圆形之面积与半径平方之比。是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。 在分析学里，π可以严格地定义为满足sin x = 0的最小正实数x。

π的由来

π，在希腊字母中排行第16位，是希腊语περιφρεια（边界、圆周之意）的首字母。尽管在四大古文明里早就有它的身影，但是，π真正作为一个通用常数被重新定义，也不过是近300年的事情。

据史料记载，1631年，π首次出现在数学家威廉奥特瑞德的著作《数学之钥》中；1706年，英国数学家威廉琼斯在他编写的数学教材《新数学导论》里也提到了π。

直到1748年，欧拉的代表作《无穷小分析引论》出版，在这本著作里，欧拉建议用符号“π”来表示圆周率，并且直接在里面使用了π。

在欧拉的积极倡导下，π终于成为了圆周率的代名词。

参考资料：

有必要说明一下，分数都不是无理数，要么是有限的小数，要么是无限不循环小数或整数，而“派”作为一个未知的一个数所以暂时定为无理数（目前没有发现循环）。（圆周率的意义：圆周率，一般以π来表示，是一个在数学及物理学普遍存在的数学常数。它定义为圆形之周长与直径之比。它也等于圆形之面积与半径平方之比。是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。 在分析学上，π可以严格地定义为满足sin(x) = 0的最小正实数x。）

如果π是通过圆的周长与直径的比计算出的比值，那么π是(6+2√3)/3的分数(由于根号3是一个超越数划成一个无限不循环小数31547005383也是超越数)属于圆周率。

如果π是通过正6x2ⁿ边形的周长与对角线或直径的比计算出的比值，那么π是31415926就不属于圆周率了。

首先肯定π是无理数。

其次你的想法有误，π的计算机算法是在π是无理数的基础上构建的方法，不是使用割圆法，不存在π=c/d的问题。

最后是证明，涉及到微积分的内容。

反证法，假设π是有理数，则π=p/q，其中p、q都是整数；

构造函数f(x)

=

(x^n)

(p-qx)^n

/

n!

F(x)=∑(-1)^n

f^(2n)(x)

其中求和上下限分别为0和N，N是一个足够大的正整数,这里用f^(2n)(x)来表示f(x)的2n阶导数。

可以验证

1(F'·sinx

-

F·cosx)'

=

f·sinx；

2F(0)为整数；

3F(π)为整数（在π位整数的假设下）

4F(x)的高阶导数（阶数在1和N-1之间）在0和π的值为0

那么对f·sinx这个函数在[0，π]上积分

有∫

f·sinx

dx

=[

F'(π)sinπ

-

F(π)·cosπ]

-

[F'(0)sin0

-

F(0)·cos0]=F(π)+F(0)，按照假设这是一个整数（F(π)，F(0)都是整数，所以F(π)+F(0)也是整数）

但是对于f(x)=

(x^n)

(p-qx)^n/

n!，他是(0,pi)区间上严格递增的函数，并且x趋于0时f(x)趋于0，x趋于π时f(x)趋于π^n

p^n

/

n!；因此只要把N取得足够大，就有f·sinx在[0，π]的积分小于1大于0，显然小于1大于0的实数不是整数，故与前面的结论产生了矛盾，因此假设不成立，π

不是有理数，而是无理数。

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